Номер 161, страница 98, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

161 Определите, истинны или ложны следующие высказывания, и постройте отрицания:

a) «Любое число является решением неравенства $x > 0$»;

б) «Все положительные числа являются решениями неравенства $x > 0$»;

в) «Существует положительное решение неравенства $x > 0$».

а) «Любое число является решением неравенства $x > 0$»

Это высказывание ложно. Чтобы опровергнуть утверждение, использующее слово «любое» (квантор всеобщности), достаточно найти один пример, который ему противоречит (контрпример). Например, число 0 не является решением неравенства $x > 0$, так как утверждение $0 > 0$ ложно. Аналогично, любое отрицательное число, например -2, не является решением, так как $-2 \ngtr 0$.

Отрицанием для высказывания «Любой элемент обладает свойством P» является высказывание «Существует элемент, который не обладает свойством P». Таким образом, отрицание: «Существует число, которое не является решением неравенства $x > 0$» (или «Найдется число $x$ такое, что $x \le 0$»).

Ответ: высказывание ложно; отрицание: «Существует число, которое не является решением неравенства $x > 0$».

б) «Все положительные числа являются решениями неравенства $x > 0$»

Это высказывание истинно. По определению, положительными называются числа, которые больше нуля. Следовательно, любое положительное число $x$ по определению удовлетворяет условию $x > 0$.

Отрицанием для высказывания «Все элементы из множества А обладают свойством P» является высказывание «Существует элемент из множества А, который не обладает свойством P». Таким образом, отрицание: «Существует положительное число, которое не является решением неравенства $x > 0$».

Ответ: высказывание истинно; отрицание: «Существует положительное число, которое не является решением неравенства $x > 0$».

в) «Существует положительное решение неравенства $x > 0$»

Это высказывание истинно. Чтобы доказать истинность утверждения, использующего слово «существует» (квантор существования), достаточно привести хотя бы один пример, удовлетворяющий условию. Например, число 5 является положительным ($5 > 0$), и оно является решением неравенства $x > 0$.

Отрицанием для высказывания «Существует элемент, обладающий свойством P» является высказывание «Ни один элемент не обладает свойством P» (или «Все элементы не обладают свойством P»). Таким образом, отрицание: «Не существует положительного решения неравенства $x > 0$».

Ответ: высказывание истинно; отрицание: «Не существует положительного решения неравенства $x > 0$».