Номер 157, страница 96, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

157 Площадь прямоугольника равна 36. Известно, что длины его сторон — натуральные числа. Про какие из следующих утверждений можно сказать, что они являются истинными высказываниями?

а) «Длина хотя бы одной из сторон — чётное число».

б) «Этот прямоугольник является квадратом».

в) «Периметр этого прямоугольника больше, чем 72».

г) «Периметр этого прямоугольника меньше, чем 75».

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. По условию, $a$ и $b$ — натуральные числа, а площадь $S = a \cdot b = 36$.

Найдем все возможные пары натуральных чисел $(a, b)$, произведение которых равно 36:

• 1 и 36
• 2 и 18
• 3 и 12
• 4 и 9
• 6 и 6

Теперь проверим каждое из утверждений для всех этих возможных пар сторон. Утверждение является истинным высказыванием, только если оно выполняется для всех без исключения случаев.

а) «Длина хотя бы одной из сторон — чётное число»
Проверим это утверждение для каждой пары:

• Для сторон (1, 36): 36 — чётное число. Утверждение верно.
• Для сторон (2, 18): оба числа чётные. Утверждение верно.
• Для сторон (3, 12): 12 — чётное число. Утверждение верно.
• Для сторон (4, 9): 4 — чётное число. Утверждение верно.
• Для сторон (6, 6): 6 — чётное число. Утверждение верно.

Утверждение выполняется для всех возможных вариантов. Альтернативное рассуждение: произведение двух нечётных чисел всегда нечётно. Так как площадь (произведение сторон) равна 36, то есть чётному числу, то невозможно, чтобы обе стороны были нечётными. Следовательно, хотя бы одна из сторон должна быть чётной.
Ответ: утверждение является истинным высказыванием.

б) «Этот прямоугольник является квадратом»
Прямоугольник является квадратом, если его стороны равны ($a=b$). Среди всех возможных пар сторон есть только одна пара с равными сторонами: (6, 6). Однако, существуют и другие варианты, например, прямоугольник со сторонами 1 и 36, который не является квадратом. Так как утверждение не выполняется для всех возможных случаев, оно не является истинным высказыванием.
Ответ: утверждение не является истинным высказыванием.

в) «Периметр этого прямоугольника больше, чем 72»
Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$. Рассчитаем периметр для нескольких случаев, чтобы проверить утверждение:

• Стороны (1, 36): $P = 2(1+36) = 74$. В этом случае $P > 72$.
• Стороны (2, 18): $P = 2(2+18) = 40$. В этом случае $P$ не больше 72.

Поскольку мы нашли хотя бы один случай (например, со сторонами 2 и 18), когда периметр не больше 72, данное утверждение не является истинным для всех возможных прямоугольников.
Ответ: утверждение не является истинным высказыванием.

г) «Периметр этого прямоугольника меньше, чем 75»
Рассчитаем периметры для всех возможных случаев:

• Стороны (1, 36): $P = 2(1+36) = 74$. $74 < 75$. Утверждение верно.
• Стороны (2, 18): $P = 2(2+18) = 40$. $40 < 75$. Утверждение верно.
• Стороны (3, 12): $P = 2(3+12) = 30$. $30 < 75$. Утверждение верно.
• Стороны (4, 9): $P = 2(4+9) = 26$. $26 < 75$. Утверждение верно.
• Стороны (6, 6): $P = 2(6+6) = 24$. $24 < 75$. Утверждение верно.

Наибольший периметр получается у самого "вытянутого" прямоугольника со сторонами 1 и 36, и он равен 74. Все остальные возможные периметры меньше этого значения. Так как максимальный возможный периметр равен 74, он в любом случае будет меньше 75. Таким образом, это утверждение истинно для всех возможных прямоугольников.
Ответ: утверждение является истинным высказыванием.