Номер 156, страница 96, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

156 Известно, что натуральное число $x$ делится на $12$. Какие из утверждений являются истинными высказываниями:

а) «$x$ делится на $6$»;

б) «Последняя цифра числа $x$ чётная»;

в) «$144$ делится на $x$»;

г) «$x$ делится на $9$»?

По условию, натуральное число $x$ делится на 12. Это означает, что $x$ можно представить в виде $x = 12k$, где $k$ – некоторое натуральное число ($k \in \{1, 2, 3, ...\}$). Проанализируем каждое утверждение.

а) «x делится на 6»

Если число делится на 12, оно также делится на все делители числа 12. Делителями числа 12 являются 1, 2, 3, 4, 6, 12. Так как 6 является делителем 12, то любое число, делящееся на 12, будет делиться и на 6. Математически: поскольку $x = 12k$, мы можем записать $x = (2 \cdot 6)k = 6 \cdot (2k)$. Так как $2k$ является натуральным числом, то $x$ делится на 6 без остатка. Следовательно, это утверждение истинно.
Ответ: истинно.

б) «Последняя цифра числа x чётная»

Чётность последней цифры означает, что само число является чётным, то есть делится на 2. Поскольку $x$ делится на 12, мы можем записать $x = 12k$. Так как $12$ — чётное число ($12 = 2 \cdot 6$), то и произведение $12k$ будет чётным при любом натуральном $k$. $x = 12k = (2 \cdot 6)k = 2 \cdot (6k)$. Это доказывает, что $x$ всегда делится на 2, то есть является чётным. Все чётные числа оканчиваются на одну из цифр: 0, 2, 4, 6, 8, которые являются чётными. Следовательно, это утверждение истинно.
Ответ: истинно.

в) «144 делится на x»

Это утверждение означает, что $x$ является делителем числа 144. Из условия мы знаем, что $x$ — это любое натуральное число, кратное 12. Например, $x$ может быть равно $12, 24, 36, 48$ и так далее. Проверим для нескольких значений $x$: Если $x=12$, то $144 / 12 = 12$. Утверждение верно. Если $x=24$, то $144 / 24 = 6$. Утверждение верно. Однако, $x$ может принимать и другие значения, кратные 12. Возьмём, к примеру, $x = 12 \cdot 13 = 156$. Число 156 делится на 12, но 144 не делится на 156, так как $144 < 156$. Поскольку мы нашли контрпример, утверждение не является истинным для всех возможных значений $x$. Следовательно, это утверждение ложно.
Ответ: ложно.

г) «x делится на 9»

Это утверждение означает, что любое число, кратное 12, также должно быть кратно 9. Разложим 12 и 9 на простые множители: $12 = 2^2 \cdot 3$, $9 = 3^2$. Чтобы число делилось на 9, в его разложении на простые множители должно быть как минимум $3^2$. Число $x = 12k = 2^2 \cdot 3 \cdot k$. Чтобы $x$ делилось на 9, множитель $k$ должен быть кратен 3. Однако, $k$ может быть любым натуральным числом. Возьмём простейший пример: пусть $k=1$, тогда $x=12$. Число 12 не делится на 9. Другой пример: пусть $k=2$, тогда $x=24$. Число 24 не делится на 9. Поскольку существуют числа, делящиеся на 12, но не делящиеся на 9, это утверждение ложно.
Ответ: ложно.