Номер 152, страница 96, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

152 Приведите пример, показывающий, что следующее высказывание ложно:

a) «В любом равнобедренном треугольнике любая высота является биссектрисой треугольника»;

б) «Два угла, сумма которых равна $180^\circ$, являются смежными».

а) Данное утверждение ложно. В равнобедренном треугольнике свойством, при котором высота является одновременно и биссектрисой (а также медианой), обладает только высота, проведенная из вершины, противолежащей основанию, к самому основанию. Высоты, проведенные из углов при основании к боковым сторонам, не являются биссектрисами, за исключением случая, когда треугольник является равносторонним.
В качестве примера рассмотрим равнобедренный треугольник $ABC$, где боковые стороны $AB = BC$, а $AC$ — основание. Пусть угол при вершине $\angle B = 30^\circ$. Тогда углы при основании равны $\angle A = \angle C = (180^\circ - 30^\circ) / 2 = 75^\circ$.
Проведем высоту $AD$ из вершины $A$ к боковой стороне $BC$. Треугольник $ADC$ является прямоугольным, так как $AD \perp BC$.
В прямоугольном треугольнике $ADC$ найдем угол $\angle DAC$:
$\angle DAC = 90^\circ - \angle C = 90^\circ - 75^\circ = 15^\circ$.
Высота $AD$ разделила угол $\angle BAC$ на два угла: $\angle DAC = 15^\circ$ и $\angle BAD = \angle BAC - \angle DAC = 75^\circ - 15^\circ = 60^\circ$.
Так как $15^\circ \neq 60^\circ$, высота $AD$ не является биссектрисой угла $\angle BAC$.

Ответ: В равнобедренном треугольнике с углами $75^\circ$, $75^\circ$ и $30^\circ$ высота, проведенная из вершины с углом $75^\circ$ к противолежащей боковой стороне, не является биссектрисой этого угла.

б) Данное утверждение ложно. Согласно определению, смежными называются два угла, у которых одна сторона общая, а две другие лежат на одной прямой (являются дополнительными лучами). Сумма смежных углов действительно равна $180^\circ$, однако не всякие два угла, сумма которых равна $180^\circ$, являются смежными.
Чтобы опровергнуть утверждение, достаточно привести один контрпример.
Рассмотрим два противолежащих угла любого прямоугольника. Например, в прямоугольнике $ABCD$ углы $\angle A$ и $\angle C$.
Каждый из них равен $90^\circ$. Их сумма составляет: $\angle A + \angle C = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$.
Однако углы $\angle A$ и $\angle C$ не являются смежными, поскольку у них нет общей стороны. Они имеют разные вершины и разделены диагональю прямоугольника. Следовательно, мы нашли пример двух углов, которые в сумме дают $180^\circ$, но не удовлетворяют определению смежных углов.
Другой простой пример: два отдельных друг от друга прямых угла. Их сумма $180^\circ$, но они не смежные.

Ответ: Два противоположных угла прямоугольника. Их сумма равна $180^\circ$, но они не являются смежными, так как не имеют общей стороны.