Номер 2, страница 95, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

2 Верно ли, что:

а) чтобы опровергнуть утверждение, достаточно привести контрпример, показывающий, что утверждение может быть ложным;

б) чтобы доказать утверждение, достаточно привести пример, когда оно истинно?

а) чтобы опровергнуть утверждение, достаточно привести контрпример, показывающий, что утверждение может быть ложным;

Да, это утверждение абсолютно верно. В логике и математике, если утверждение претендует на всеобщность (то есть должно выполняться для всех без исключения объектов из некоторого класса), то для его опровержения достаточно найти всего один объект, для которого оно не выполняется. Такой объект или случай называется контрпримером. Наличие хотя бы одного контрпримера неопровержимо доказывает, что исходное утверждение ложно.

Например, рассмотрим утверждение: "Квадрат любого действительного числа больше самого числа". Это можно записать как $x^2 > x$ для любого $x \in \mathbb{R}$. Чтобы опровергнуть это, найдем контрпример. Возьмем $x = 0.5$. Тогда $x^2 = (0.5)^2 = 0.25$. Мы видим, что $0.25$ не больше $0.5$. Следовательно, $x=0.5$ — это контрпример, и исходное утверждение ложно.

Ответ: Да, верно.

б) чтобы доказать утверждение, достаточно привести пример, когда оно истинно?

Нет, это утверждение в общем случае неверно. Приведение одного или даже множества примеров, в которых утверждение выполняется, не является доказательством для утверждений всеобщего характера. Такое доказательство должно представлять собой строгое логическое рассуждение, которое показывает, что утверждение истинно для всех случаев, а не только для выбранных.

Например, рассмотрим утверждение: "Для любого натурального числа $n$ выражение $n^2 + n + 41$ является простым числом". Проверим для нескольких значений:

• При $n=1$: $1^2 + 1 + 41 = 43$ (простое число).
• При $n=2$: $2^2 + 2 + 41 = 4 + 2 + 41 = 47$ (простое число).
• При $n=3$: $3^2 + 3 + 41 = 9 + 3 + 41 = 53$ (простое число).

Можно продолжить проверку до $n=39$, и для всех этих случаев результат будет простым числом. Однако это не доказывает утверждение. Если мы возьмем $n=40$, то получим: $40^2 + 40 + 41 = 1600 + 40 + 41 = 1681 = 41 \times 41 = 41^2$. Это число не является простым. Таким образом, $n=40$ является контрпримером, который опровергает исходное утверждение, несмотря на большое количество подтверждающих примеров.

Исключением являются "утверждения о существовании". Например, для доказательства утверждения "Существует четное простое число" достаточно привести один пример — число 2. Но вопрос, как правило, подразумевает утверждения всеобщего характера.

Ответ: Нет, неверно.