Номер 153, страница 96, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

153 Приведите контрпример (пример, показывающий, что высказывание не является истинным) к высказыванию:

a) «Если медиана треугольника не является его высотой, то такой треугольник не является равнобедренным»;

б) «Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники равны».

а)

Чтобы найти контрпример к высказыванию «Если медиана треугольника не является его высотой, то такой треугольник не является равнобедренным», нам нужно найти пример, где условие выполняется, а заключение — нет. То есть, нам нужен равнобедренный треугольник, в котором хотя бы одна медиана не является его высотой.

Рассмотрим равнобедренный треугольник $ABC$, в котором боковые стороны равны ($AB = AC$), а основание — $BC$. Пусть этот треугольник не является равносторонним (например, со сторонами 5, 5 и 8).

В этом треугольнике проведем медиану $BM$ из вершины $B$ к боковой стороне $AC$. В равнобедренном треугольнике свойством совпадения с высотой и биссектрисой обладает только медиана, проведенная к основанию. Медиана $BM$, проведенная к боковой стороне, не будет перпендикулярна этой стороне, то есть не будет являться высотой.

Таким образом, для медианы $BM$ условие «медиана треугольника не является его высотой» истинно. Однако, по нашему построению, треугольник $ABC$ — равнобедренный. Это делает заключение «такой треугольник не является равнобедренным» ложным.

Следовательно, любой неравносторонний равнобедренный треугольник является контрпримером.

Ответ: Любой равнобедренный, но не равносторонний треугольник. Например, в треугольнике со сторонами 5 см, 5 см и 6 см медиана, проведенная к стороне длиной 5 см, не является высотой, однако сам треугольник — равнобедренный.

б)

Чтобы найти контрпример к высказыванию «Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники равны», нужно найти два треугольника, у которых два соответствующих угла равны, но сами треугольники не равны (т.е. не конгруэнтны).

Условие равенства двух углов одного треугольника двум углам другого является признаком подобия треугольников (по двум углам), а не их равенства. Подобные треугольники имеют одинаковую форму, но могут иметь разный размер.

Рассмотрим два равносторонних треугольника:

1. Треугольник $\triangle ABC$ с длиной стороны 3 см. Все его углы равны $60^\circ$.

2. Треугольник $\triangle A'B'C'$ с длиной стороны 5 см. Все его углы также равны $60^\circ$.

В этих треугольниках два (и даже все три) угла одного треугольника равны двум углам другого: $\angle A = \angle A' = 60^\circ$, $\angle B = \angle B' = 60^\circ$. Таким образом, условие высказывания выполняется.

Однако эти треугольники не равны, так как их соответствующие стороны имеют разную длину (3 см $\neq$ 5 см). Следовательно, заключение «такие треугольники равны» является ложным.

Ответ: Любые два подобных, но не конгруэнтных треугольника. Например, равносторонний треугольник со стороной 3 см и равносторонний треугольник со стороной 5 см.