Номер 154, страница 96, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

154 В пенале 5 синих карандашей и 4 жёлтых. Какие из следующих высказываний истинны:

а) «Среди любых 5 карандашей из пенала обязательно будет синий»;

б) «Любые 3 карандаша из этого пенала одного цвета»;

в) «Среди любых 6 карандашей из пенала обязательно будет 2 жёлтых»?

а) «Среди любых 5 карандашей из пенала обязательно будет синий»
Для проверки этого утверждения воспользуемся принципом Дирихле. Рассмотрим самый неблагоприятный случай: мы хотим взять 5 карандашей, но стараемся, чтобы среди них не было синего. Для этого мы должны сначала брать карандаши других цветов. В пенале 4 жёлтых карандаша. Мы можем вытащить все 4 жёлтых карандаша. После этого в пенале останутся только синие. Чтобы набрать группу из 5 карандашей, нам придётся взять ещё один. Этот пятый карандаш обязательно будет синим. Таким образом, в любой группе из 5 карандашей, взятых из этого пенала, как минимум один будет синим.
Ответ: истинно.

б) «Любые 3 карандаша из этого пенала одного цвета»
Это утверждение было бы истинным, если бы невозможно было составить набор из 3 карандашей, в котором есть карандаши разных цветов. Однако это возможно. Например, мы можем взять 2 синих карандаша и 1 жёлтый. Это набор из 3 карандашей, но они не одного цвета. Так как мы нашли контрпример, утверждение является ложным.
Ответ: ложно.

в) «Среди любых 6 карандашей из пенала обязательно будет 2 жёлтых»?
Снова рассмотрим наихудший сценарий. Мы хотим взять 6 карандашей, но стараемся, чтобы среди них было как можно меньше жёлтых. Для этого мы сначала будем брать карандаши другого цвета — синие. В пенале 5 синих карандашей. Мы можем вытащить их все. На данный момент у нас 5 карандашей, и все они синие. Чтобы получить группу из 6 карандашей, мы должны вытащить ещё один. Он обязательно будет жёлтым. В результате мы получим набор из 5 синих и 1 жёлтого карандаша. Это набор из 6 карандашей, но в нём только один жёлтый, а не два. Следовательно, утверждение неверно. Чтобы гарантированно вытащить 2 жёлтых карандаша, нужно взять $5 \text{ (все синие)} + 2 \text{ (жёлтых)} = 7$ карандашей.
Ответ: ложно.