Номер 155, страница 96, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

155 В пенале 6 синих карандашей и 3 жёлтых. Какие из следующих высказываний истинны:

а) «Среди любых четырёх карандашей из пенала обязательно будет синий»;

б) «7 карандашей, выбранных из пенала, могут оказаться одного цвета»;

в) «Любые 3 карандаша из пенала одного цвета»;

г) «Среди любых восьми карандашей из пенала обязательно 2 жёлтых»?

В пенале находятся 6 синих и 3 жёлтых карандаша. Всего $6 + 3 = 9$ карандашей. Проанализируем каждое высказывание.

а) «Среди любых четырёх карандашей из пенала обязательно будет синий»

Рассмотрим наихудший случай, когда мы пытаемся выбрать 4 карандаша без синего. Это означает, что мы выбираем только жёлтые карандаши. В пенале всего 3 жёлтых карандаша. Таким образом, мы можем вытащить максимум 3 карандаша, и все они будут жёлтыми. Если мы вытащим четвёртый карандаш, он уже не может быть жёлтым, так как все жёлтые закончились. Следовательно, четвёртый карандаш обязательно будет синим. Этот метод рассуждения использует принцип Дирихле. Если взять $3$ (количество жёлтых карандашей) $+ 1 = 4$ карандаша, то по крайней мере один из них гарантированно будет синим.
Ответ: Истина

б) «7 карандашей, выбранных из пенала, могут оказаться одного цвета»

Чтобы 7 карандашей оказались одного цвета, они должны быть либо все синие, либо все жёлтые. В пенале 6 синих карандашей, что меньше 7. Значит, невозможно выбрать 7 синих карандашей. В пенале 3 жёлтых карандаша, что также меньше 7. Значит, невозможно выбрать 7 жёлтых карандашей. Следовательно, нельзя выбрать 7 карандашей одного цвета.
Ответ: Ложь

в) «Любые 3 карандаша из пенала одного цвета»

Слово «любые» означает, что абсолютно всякая группа из трёх карандашей должна быть одного цвета. Чтобы проверить это утверждение, достаточно найти хотя бы один контрпример — набор из трёх карандашей, которые не являются одноцветными. Например, мы можем выбрать 2 синих и 1 жёлтый карандаш. Это набор из 3 карандашей, но они не одного цвета. Так как существует набор из 3 карандашей разного цвета, утверждение является ложным.
Ответ: Ложь

г) «Среди любых восьми карандашей из пенала обязательно 2 жёлтых»?

Всего в пенале 9 карандашей. Если мы выбираем 8 карандашей, то в пенале остаётся $9 - 8 = 1$ карандаш. Рассмотрим два возможных случая для оставшегося карандаша:
1. Оставшийся карандаш — синий. Тогда мы выбрали 5 синих (так как один из 6 остался) и все 3 жёлтых карандаша. В нашей группе из 8 карандашей 3 жёлтых.
2. Оставшийся карандаш — жёлтый. Тогда мы выбрали все 6 синих и 2 жёлтых карандаша (так как один из 3 остался). В нашей группе из 8 карандашей 2 жёлтых.
В обоих случаях количество жёлтых карандашей в группе из восьми равно 2 или 3. Минимальное количество жёлтых карандашей, которое обязательно будет среди 8 выбранных — это 2. Следовательно, утверждение о том, что среди любых восьми карандашей обязательно будет 2 жёлтых (то есть, как минимум 2 жёлтых), является истинным.
Ответ: Истина