Номер 146, страница 92, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

146 Пять участков отделены друг от друга заборами (см. план на рис. 40). Можно ли побывать на каждом участке, но при этом перелезть через каждый забор ровно один раз?

Рисунок 40. Участки и заборы

Для ответа на этот вопрос можно использовать теорию графов. Представим каждый из пяти участков, а также внешнюю территорию за забором, как вершины графа. Заборы, которые их разделяют, будут рёбрами этого графа. Таким образом, мы получаем граф с 6 вершинами (5 участков + 1 внешняя область).

Задача «побывать на каждом участке, но при этом перелезть через каждый забор ровно один раз» эквивалентна поиску эйлерова пути в этом графе. Эйлеров путь — это путь, который проходит по каждому ребру (забору) графа ровно один раз.

Согласно теореме Эйлера, эйлеров путь в связном графе существует тогда и только тогда, когда число вершин с нечётной степенью в этом графе равно нулю или двум. Степень вершины — это количество рёбер (заборов), которые к ней примыкают.

Давайте определим степени для всех вершин нашего графа:

• Верхний левый участок: имеет 3 забора (с верхним правым участком, с центральным и с внешней территорией). Его степень равна $3$ (нечётная).
• Верхний правый участок: имеет 3 забора (с верхним левым, с центральным и с внешней территорией). Его степень равна $3$ (нечётная).
• Нижний левый участок: имеет 3 забора (с нижним правым, с центральным и с внешней территорией). Его степень равна $3$ (нечётная).
• Нижний правый участок: имеет 3 забора (с нижним левым, с центральным и с внешней территорией). Его степень равна $3$ (нечётная).
• Центральный участок: имеет 4 забора (с каждым из четырёх других участков). Его степень равна $4$ (чётная).
• Внешняя территория: имеет 4 забора (с каждым из четырёх крайних участков). Её степень равна $4$ (чётная).

В получившемся графе четыре вершины имеют нечётную степень ($3, 3, 3, 3$). Поскольку количество вершин с нечётной степенью (четыре) не равно ни нулю, ни двум, то эйлеров путь в таком графе не существует.

Таким образом, выполнить поставленное условие невозможно.

Ответ: Нет, невозможно.