Номер 145, страница 92, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

145 Придумайте способ обвести фигуру, изображённую на рисунке 39, одним росчерком (не отрывая карандаша от бумаги и не проводя одну линию дважды).

а) б) Рисунок 39

Для решения подобных задач используется раздел математики, называемый теорией графов. Фигура рассматривается как граф, в котором точки пересечения линий — это вершины, а сами линии — ребра. Согласно одной из основных теорем этой теории (теореме Эйлера), фигуру можно начертить одним росчерком (такой путь называется эйлеровым) тогда и только тогда, когда она является связной и содержит не более двух вершин с нечетным количеством отрезков (ребер), которые из них выходят. Если нечетных вершин нет совсем, то путь можно начать в любой вершине и закончить в ней же.

В фигуре а) имеется 7 вершин. Это углы внешнего семиугольника. Из каждой вершины проведены линии ко всем остальным 6 вершинам. Следовательно, степень каждой вершины, то есть количество выходящих из нее ребер, равна $6$. Так как 6 — это четное число, то все вершины в этой фигуре являются четными. Количество нечетных вершин равно нулю. Это означает, что фигуру можно начертить одним росчерком.

Ответ: Да, эту фигуру можно обвести одним росчерком, так как все ее вершины имеют четную степень (из каждой выходит по 6 линий).

Применим тот же самый принцип и для второй фигуры. Здесь вершинами являются точки пересечения окружностей, а ребрами — дуги окружностей, соединяющие эти точки. Фигура, очевидно, является связной.

В каждой точке пересечения сходятся две окружности. Это означает, что в каждой такой вершине пересекаются 4 дуги (по две от каждой окружности). Таким образом, степень каждой вершины в этой фигуре равна $4$. Поскольку 4 — это четное число, все вершины являются четными, и количество нечетных вершин равно нулю. Следовательно, условия для существования эйлерова пути выполняются.

Ответ: Да, эту фигуру можно обвести одним росчерком, так как все ее вершины (точки пересечения окружностей) имеют четную степень (в каждой пересекаются 4 дуги).