Номер 142, страница 91, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

142 Какими цифрами на рисунке 36 обозначены эйлеровы графы?

1

2

3

Рисунок 36

Эйлеров граф — это связный граф, который можно начертить одним росчерком пера, не отрывая его от бумаги и проходя по каждому ребру ровно один раз. Чтобы определить, является ли граф эйлеровым, нужно проверить следующие условия:

1. Граф должен быть связным (т.е. из любой его вершины можно добраться до любой другой, двигаясь по рёбрам).
2. Количество вершин с нечётной степенью должно быть равно 0 или 2. Степень вершины — это количество рёбер, которые к ней присоединены.
   • Если в графе нет вершин нечётной степени (все вершины имеют чётную степень), то в нём существует эйлеров цикл. Такой граф можно нарисовать, начав и закончив в одной и той же вершине.
   • Если в графе ровно две вершины нечётной степени, то в нём существует эйлеров путь. Такой граф можно нарисовать, начав в одной из нечётных вершин и закончив в другой.

Проанализируем каждый из представленных на рисунке графов.

1

Этот граф является связным. Он состоит из двух вершин, соединённых одним ребром. Степень каждой из двух вершин равна $1$. Так как $1$ — нечётное число, в графе ровно две вершины нечётной степени. Следовательно, граф 1 является эйлеровым.

2

Фигура под номером 2 представляет собой два отдельных, не соединённых друг с другом ребра. Это несвязный граф (состоит из двух компонент связности). Поскольку обязательным условием для эйлерова графа является связность, граф 2 не является эйлеровым.

3

Этот граф является связным. Он состоит из четырёх вершин и трёх рёбер. Определим степень каждой вершины:

• Верхняя левая вершина: степень $1$ (нечётная).
• Нижняя левая вершина: степень $2$ (чётная).
• Нижняя правая вершина: степень $2$ (чётная).
• Верхняя правая вершина: степень $1$ (нечётная).

В этом графе ровно две вершины нечётной степени ($1$) и две вершины чётной степени ($2$). Так как количество вершин с нечётной степенью равно двум, граф 3 является эйлеровым.

Таким образом, эйлеровыми являются графы, обозначенные цифрами 1 и 3.

Ответ: 1 и 3.