Страница 91, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник часть 1, 2 Высоцкий, Ященко

1 Что такое эйлеров путь и какие графы называют эйлеровыми?

Что такое эйлеров путь

Эйлеров путь (или эйлерова цепь) — это путь в графе, который проходит через каждое ребро ровно один раз. При этом вершины могут посещаться многократно. Если начальная и конечная вершины пути совпадают, его называют эйлеровым циклом.

Это понятие было введено Леонардом Эйлером в 1736 году при решении знаменитой задачи о семи кёнигсбергских мостах, которая считается одной из первых задач теории графов.

Критерий существования эйлерова пути в связном графе напрямую связан со степенями его вершин.

• Для неориентированного графа: связный граф имеет эйлеров путь тогда и только тогда, когда в нём имеется не более двух вершин нечётной степени (степень вершины — это количество инцидентных ей рёбер).
  • Если в графе нет вершин нечётной степени (т.е. все вершины имеют чётную степень), то любой эйлеров путь также является эйлеровым циклом. Такой путь можно начать из любой вершины и закончить в ней же.
  • Если в графе ровно две вершины нечётной степени, то эйлеров путь существует, но он должен начинаться в одной из этих вершин и заканчиваться в другой.
  Если в графе больше двух вершин нечетной степени, эйлеров путь невозможен.
• Для ориентированного графа (орграфа): сильно связный орграф имеет эйлеров путь тогда и только тогда, когда для каждой его вершины $v$ выполняется условие:
  • полустепень захода $deg^-(v)$ (число входящих рёбер) и полустепень исхода $deg^+(v)$ (число выходящих рёбер) почти равны;
  • существует не более одной вершины, для которой $deg^+(v) - deg^-(v) = 1$ (она будет начальной);
  • существует не более одной вершины, для которой $deg^-(v) - deg^+(v) = 1$ (она будет конечной).
  У всех остальных вершин должно выполняться равенство $deg^+(v) = deg^-(v)$.

Ответ: Эйлеров путь — это путь в графе, который проходит по каждому ребру ровно один раз. Он существует в связном неориентированном графе, если число вершин нечетной степени в нем равно нулю или двум. Он существует в сильно связном ориентированном графе, если у всех вершин, кроме, возможно, двух, полустепень захода равна полустепени исхода, а для оставшихся двух (стартовой и конечной) эта разница равна 1.

Какие графы называют эйлеровыми

Эйлеровым графом называют граф, в котором существует эйлеров цикл.

Эйлеров цикл — это эйлеров путь, который является замкнутым, то есть начинается и заканчивается в одной и той же вершине. Таким образом, это маршрут, который проходит по каждому ребру графа ровно один раз и возвращается в исходную вершину.

Критерий, определяющий, является ли граф эйлеровым (т.е. существует ли в нем эйлеров цикл), следующий:

• Для неориентированного графа: связный граф является эйлеровым тогда и только тогда, когда степени всех его вершин чётны.
• Для ориентированного графа (орграфа): сильно связный орграф является эйлеровым тогда и только тогда, когда для каждой его вершины $v$ полустепень захода равна полустепени исхода: $deg^-(v) = deg^+(v)$.

Граф, который содержит эйлеров путь, но не содержит эйлерова цикла, иногда называют полуэйлеровым графом.

Ответ: Эйлеровыми называют графы, которые содержат эйлеров цикл (замкнутый путь, проходящий по каждому ребру ровно один раз). Для связного неориентированного графа это означает, что все его вершины должны иметь чётную степень. Для сильно связного ориентированного графа — что у каждой вершины полустепень захода должна быть равна полустепени исхода.

2 Может ли эйлеров граф быть несвязным?

Для ответа на этот вопрос необходимо вспомнить определения эйлерова графа и связности графа.

Эйлеров граф — это граф, в котором существует эйлеров цикл. Эйлеров цикл — это цикл, который проходит через каждое ребро графа ровно один раз. Связный граф — это граф, в котором существует путь между любыми двумя его вершинами. Соответственно, несвязный граф — это граф, состоящий из двух или более компонент связности.

Критерий существования эйлерова цикла гласит: конечный неориентированный граф является эйлеровым тогда и только тогда, когда он связен и степень каждой его вершины чётна. На первый взгляд, требование связности в самом критерии сразу даёт отрицательный ответ на вопрос.

Однако, это не совсем так. Определение эйлерова графа, данное выше, является первичным. Критерий со связностью обычно применяется к нетривиальным графам (графам, содержащим рёбра). Рассмотрим ситуацию подробнее.

Пусть у нас есть несвязный граф $G$. Это означает, что он состоит из нескольких компонент связности, скажем $G_1, G_2, \ldots, G_k$ где $k \ge 2$.

Предположим, что в графе $G$ есть эйлеров цикл. Этот цикл должен пройти по всем рёбрам графа $G$. Если хотя бы две компоненты, например $G_1$ и $G_2$, содержат рёбра, то эйлеров цикл невозможен. Цикл является непрерывным путем, и, пройдя по всем рёбрам в компоненте $G_1$, он не сможет "перепрыгнуть" в компоненту $G_2$, так как по определению между компонентами связности нет рёбер.

Но есть особый случай: что, если все рёбра графа $G$ содержатся только в одной его компоненте, например, в $G_1$, а все остальные компоненты ($G_2, \ldots, G_k$) состоят только из изолированных вершин (вершин без рёбер)?

В этом случае, если компонента $G_1$ сама по себе является эйлеровым графом (то есть она связна и степени всех её вершин чётны), то в ней существует эйлеров цикл. Этот цикл проходит через все рёбра компоненты $G_1$. А так как в других компонентах рёбер нет, то этот цикл по факту проходит через все рёбра всего графа $G$. Следовательно, граф $G$ является эйлеровым.

При этом, поскольку граф $G$ содержит изолированные вершины (компоненты $G_2, \ldots, G_k$), он по определению является несвязным.

Таким образом, эйлеров граф может быть несвязным, но только при условии, что лишь одна из его компонент связности содержит рёбра, а все остальные являются изолированными вершинами.

Ответ: Да, может. Эйлеров граф может быть несвязным, если он состоит из одной компоненты связности, которая содержит все рёбра графа и является эйлеровой, и одной или нескольких компонент, представляющих собой изолированные вершины.

3 Может ли в эйлеровом графе не быть вершин нечётной степени? Может ли быть только одна вершина нечётной степени; две вершины нечётной степени; три или больше?

Для ответа на этот вопрос воспользуемся определениями и теоремами из теории графов.

Эйлеров граф — это связный граф, в котором существует эйлеров цикл, то есть замкнутый путь, проходящий через каждое ребро графа ровно один раз.

Ключевая теорема (критерий эйлеровости): связный граф является эйлеровым тогда и только тогда, когда степени всех его вершин чётны.

Также нам понадобится лемма о рукопожатиях, которая утверждает, что сумма степеней всех вершин любого графа равна удвоенному числу его рёбер: $\sum_{v \in V} \deg(v) = 2|E|$. Важным следствием из этой леммы является то, что количество вершин нечётной степени в любом графе всегда чётно.

Может ли в эйлеровом графе не быть вершин нечётной степени?

Да, может. Более того, это является обязательным условием для эйлерова графа. Согласно критерию эйлеровости, чтобы в связном графе существовал эйлеров цикл, необходимо и достаточно, чтобы все его вершины имели чётную степень. Отсутствие вершин нечётной степени как раз и означает, что все вершины имеют чётную степень.

Ответ: Да, может.

Может ли быть только одна вершина нечётной степени?

Нет, не может. Это невозможно ни в каком графе, не только в эйлеровом. Согласно лемме о рукопожатиях, сумма степеней всех вершин графа всегда является чётным числом ($2|E|$). Если бы в графе была только одна вершина нечётной степени, а остальные имели бы чётные степени, то общая сумма степеней была бы нечётной (сумма чётных чисел — чётное число, плюс одно нечётное — даёт нечётное число). Это противоречит лемме о рукопожатиях. Следовательно, число вершин нечётной степени в любом графе должно быть чётным.

Ответ: Нет, не может.

Может ли быть две вершины нечётной степени?

Нет, в эйлеровом графе не может быть двух вершин нечётной степени. По определению, эйлеров граф — это граф с эйлеровым циклом, а для этого необходимо, чтобы все его вершины имели чётную степень.

Стоит отметить, что связный граф, в котором есть ровно две вершины нечётной степени, называется полуэйлеровым. В таком графе существует эйлеров путь (путь, проходящий через каждое ребро ровно один раз), но не существует эйлерова цикла. Такой путь начинается в одной из вершин нечётной степени и заканчивается в другой. Однако, поскольку в вопросе речь идет именно об эйлеровом графе (с циклом), ответ отрицательный.

Ответ: Нет, не может.

Может ли быть три или больше?

Нет, не может. Если количество вершин нечётной степени равно трём (или любому другому нечётному числу), то такой граф не может существовать в принципе. Как было показано выше, это противоречит лемме о рукопожатиях, так как сумма степеней всех вершин оказалась бы нечётной.

Если количество вершин нечётной степени чётно и больше двух (например, четыре, шесть и т.д.), то такие графы существовать могут, но они не являются эйлеровыми. Согласно критериям, в графе с эйлеровым циклом должно быть ноль вершин нечётной степени, а в графе с эйлеровым путём — ровно две. Если таких вершин четыре или больше, то граф не является ни эйлеровым, ни полуэйлеровым.

Следовательно, в эйлеровом графе не может быть трёх или более вершин нечётной степени.

Ответ: Нет, не может.

142 Какими цифрами на рисунке 36 обозначены эйлеровы графы?

1

2

3

Рисунок 36

Эйлеров граф — это связный граф, который можно начертить одним росчерком пера, не отрывая его от бумаги и проходя по каждому ребру ровно один раз. Чтобы определить, является ли граф эйлеровым, нужно проверить следующие условия:

1. Граф должен быть связным (т.е. из любой его вершины можно добраться до любой другой, двигаясь по рёбрам).
2. Количество вершин с нечётной степенью должно быть равно 0 или 2. Степень вершины — это количество рёбер, которые к ней присоединены.
   • Если в графе нет вершин нечётной степени (все вершины имеют чётную степень), то в нём существует эйлеров цикл. Такой граф можно нарисовать, начав и закончив в одной и той же вершине.
   • Если в графе ровно две вершины нечётной степени, то в нём существует эйлеров путь. Такой граф можно нарисовать, начав в одной из нечётных вершин и закончив в другой.

Проанализируем каждый из представленных на рисунке графов.

1

Этот граф является связным. Он состоит из двух вершин, соединённых одним ребром. Степень каждой из двух вершин равна $1$. Так как $1$ — нечётное число, в графе ровно две вершины нечётной степени. Следовательно, граф 1 является эйлеровым.

2

Фигура под номером 2 представляет собой два отдельных, не соединённых друг с другом ребра. Это несвязный граф (состоит из двух компонент связности). Поскольку обязательным условием для эйлерова графа является связность, граф 2 не является эйлеровым.

3

Этот граф является связным. Он состоит из четырёх вершин и трёх рёбер. Определим степень каждой вершины:

• Верхняя левая вершина: степень $1$ (нечётная).
• Нижняя левая вершина: степень $2$ (чётная).
• Нижняя правая вершина: степень $2$ (чётная).
• Верхняя правая вершина: степень $1$ (нечётная).

В этом графе ровно две вершины нечётной степени ($1$) и две вершины чётной степени ($2$). Так как количество вершин с нечётной степенью равно двум, граф 3 является эйлеровым.

Таким образом, эйлеровыми являются графы, обозначенные цифрами 1 и 3.

Ответ: 1 и 3.

143 Какими цифрами на рисунке 37 обозначены эйлеровы графы?

Рисунок 37

Эйлеров граф — это связный граф, в котором степени всех вершин чётны. В таком графе существует эйлеров цикл — маршрут, который проходит по каждому ребру ровно один раз и возвращается в начальную вершину. Проанализируем каждый из представленных графов на соответствие этому определению.

Данный граф является связным. Подсчитаем степени его вершин: две вершины имеют степень $4$, а три вершины — степень $2$. Все степени являются чётными числами. Следовательно, граф является эйлеровым.

Данный граф является связным. Важно учесть, что пересечение линий в его центре не является вершиной. Граф имеет четыре вершины, и степень каждой из них равна $2$. Так как все степени чётные, этот граф также является эйлеровым.

Данный граф состоит из двух не связанных между собой частей (компонент связности). По определению, эйлеров граф должен быть связным, поэтому данный граф не является эйлеровым.

Данный граф является связным. Однако в нём есть две вершины, степень которых равна $3$ (нечётное число). Поскольку для эйлерова графа степени всех вершин должны быть чётными, этот граф не является эйлеровым. (Он является полуэйлеровым, так как содержит ровно две вершины нечётной степени, и в нём существует эйлеров путь, но не цикл).

Ответ: эйлеровы графы на рисунке обозначены цифрами 1 и 2.

261 Проводится одно испытание Бернулли с вероятностью успеха $p = 0,5$. Случайная величина $S$ равна числу успехов в этом испытании.

а) Составьте таблицу распределения случайной величины $S$.

б) Найдите дисперсию и стандартное отклонение случайной величины $S$.

а) Составьте таблицу распределения случайной величины S.

Случайная величина $S$ представляет собой число успехов в одном испытании Бернулли. Она может принимать только два значения:

• $S = 1$, если в испытании произошел успех.
• $S = 0$, если в испытании произошла неудача.

Вероятность успеха по условию задачи равна $p = 0,5$. Следовательно, вероятность того, что случайная величина примет значение 1, равна: $P(S=1) = p = 0,5$.

Вероятность неудачи $q$ равна $1-p$. Следовательно, вероятность того, что случайная величина примет значение 0, равна: $P(S=0) = q = 1 - p = 1 - 0,5 = 0,5$.

Теперь мы можем составить таблицу распределения вероятностей для случайной величины $S$.

Ответ:

б) Найдите дисперсию и стандартное отклонение случайной величины S.

Для случайной величины, имеющей распределение Бернулли, существуют стандартные формулы для вычисления дисперсии и стандартного отклонения.

Дисперсия $D[S]$ вычисляется по формуле: $D[S] = p(1-p) = pq$.

Подставляя известные значения $p = 0,5$ и $q = 0,5$, получаем: $D[S] = 0,5 \cdot 0,5 = 0,25$.

Стандартное отклонение $\sigma(S)$ (также называемое среднеквадратическим отклонением) равно квадратному корню из дисперсии: $\sigma(S) = \sqrt{D[S]}$.

Вычисляем значение стандартного отклонения: $\sigma(S) = \sqrt{0,25} = 0,5$.

Ответ: дисперсия $D[S] = 0,25$, стандартное отклонение $\sigma(S) = 0,5$.

262 Бинарная случайная величина $I$ равна единице с вероятностью $p$ и нулю с вероятностью $q$. Найдите дисперсию $DI$, если

а) $p = 0,8$;

б) $p = 0,1$;

в) $q = 0,1$;

г) $q = 0,4$.

Бинарная случайная величина $I$, также известная как величина, имеющая распределение Бернулли, принимает два значения: 1 с вероятностью $p$ и 0 с вероятностью $q$. Сумма вероятностей всех возможных исходов равна единице, поэтому $p+q=1$.

Дисперсия $DI$ случайной величины $I$ по определению равна математическому ожиданию квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания: $DI = E[(I - E[I])^2]$. Для удобства расчетов эту формулу можно преобразовать к виду: $DI = E[I^2] - (E[I])^2$.

Сначала найдем математическое ожидание (среднее значение) $E[I]$:

$E[I] = 1 \cdot P(I=1) + 0 \cdot P(I=0) = 1 \cdot p + 0 \cdot q = p$.

Теперь найдем математическое ожидание квадрата случайной величины $E[I^2]$:

$E[I^2] = 1^2 \cdot P(I=1) + 0^2 \cdot P(I=0) = 1 \cdot p + 0 \cdot q = p$.

Подставим найденные значения в формулу для дисперсии:

$DI = E[I^2] - (E[I])^2 = p - p^2 = p(1-p)$.

Поскольку $q = 1-p$, итоговая формула для дисперсии бинарной случайной величины имеет очень простой вид: $DI = p \cdot q$.

Теперь решим задачу для каждого из предложенных случаев, используя эту формулу.

а) Дано $p = 0,8$.

Находим $q$: $q = 1 - p = 1 - 0,8 = 0,2$.

Вычисляем дисперсию: $DI = p \cdot q = 0,8 \cdot 0,2 = 0,16$.

Ответ: 0,16.

б) Дано $p = 0,1$.

Находим $q$: $q = 1 - p = 1 - 0,1 = 0,9$.

Вычисляем дисперсию: $DI = p \cdot q = 0,1 \cdot 0,9 = 0,09$.

Ответ: 0,09.

в) Дано $q = 0,1$.

Находим $p$: $p = 1 - q = 1 - 0,1 = 0,9$.

Вычисляем дисперсию: $DI = p \cdot q = 0,9 \cdot 0,1 = 0,09$.

Ответ: 0,09.

г) Дано $q = 0,4$.

Находим $p$: $p = 1 - q = 1 - 0,4 = 0,6$.

Вычисляем дисперсию: $DI = p \cdot q = 0,6 \cdot 0,4 = 0,24$.

Ответ: 0,24.

263 Монету бросают 2 раза. Постройте распределение и найдите дисперсию случайной величины «число выпавших орлов».

Пусть $X$ — это случайная величина, равная «числу выпавших орлов» при двух бросках монеты.

Обозначим выпадение орла как «О», а решки — как «Р». Тогда все возможные равновероятные исходы при двух бросках: РР, ОР, РО, ОО. Всего 4 исхода.

Постройте распределение

Случайная величина $X$ (число орлов) может принимать значения 0, 1 или 2.

Вероятность того, что орлов не будет ($X=0$), соответствует одному исходу (РР) из четырех:
$P(X=0) = \frac{1}{4}$.

Вероятность того, что выпадет один орёл ($X=1$), соответствует двум исходам (ОР и РО) из четырех:
$P(X=1) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Вероятность того, что выпадет два орла ($X=2$), соответствует одному исходу (ОО) из четырех:
$P(X=2) = \frac{1}{4}$.

Таким образом, закон распределения случайной величины $X$ (ряд распределения) имеет следующий вид:
- при $X=0$, вероятность $P = 1/4$;
- при $X=1$, вероятность $P = 1/2$;
- при $X=2$, вероятность $P = 1/4$.
Проверка: $1/4 + 1/2 + 1/4 = 1$.

Ответ: Закон распределения: $P(X=0) = 1/4$, $P(X=1) = 1/2$, $P(X=2) = 1/4$.

Найдите дисперсию

Дисперсия случайной величины $D(X)$ вычисляется по формуле $D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$, где $M(X)$ — математическое ожидание.

1. Найдём математическое ожидание $M(X)$:
$M(X) = \sum x_i p_i = 0 \cdot \frac{1}{4} + 1 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{4} = 0 + \frac{1}{2} + \frac{2}{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.

2. Найдём математическое ожидание квадрата случайной величины $M(X^2)$:
$M(X^2) = \sum x_i^2 p_i = 0^2 \cdot \frac{1}{4} + 1^2 \cdot \frac{1}{2} + 2^2 \cdot \frac{1}{4} = 0 + 1 \cdot \frac{1}{2} + 4 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2} + 1 = 1.5$.

3. Вычислим дисперсию $D(X)$:
$D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2 = 1.5 - 1^2 = 1.5 - 1 = 0.5$.

Ответ: дисперсия случайной величины равна $0.5$.

264 Найдите стандартное отклонение случайной величины, если её дисперсия равна:

а) $25$;

б) $0,36$;

в) $0,04$;

г) $2,89$.

Стандартное отклонение, также известное как среднеквадратическое отклонение, является мерой разброса значений случайной величины. Оно определяется как квадратный корень из дисперсии. Если дисперсия случайной величины обозначается как $D$, то её стандартное отклонение $\sigma$ вычисляется по формуле: $\sigma = \sqrt{D}$.

а)

Дана дисперсия $D = 25$. Для нахождения стандартного отклонения $\sigma$ необходимо извлечь квадратный корень из этого значения:

$\sigma = \sqrt{25} = 5$

Ответ: 5.

б)

Дана дисперсия $D = 0,36$. Находим стандартное отклонение, извлекая квадратный корень из дисперсии:

$\sigma = \sqrt{0,36} = 0,6$

Ответ: 0,6.

в)

Дана дисперсия $D = 0,04$. Вычисляем стандартное отклонение по той же формуле:

$\sigma = \sqrt{0,04} = 0,2$

Ответ: 0,2.

г)

Дана дисперсия $D = 2,89$. Находим стандартное отклонение:

$\sigma = \sqrt{2,89} = 1,7$

Ответ: 1,7.

265 Найдите дисперсию случайной величины, если её стандартное отклонение равно:

а) $7$;

б) $0,9$;

в) $1,3$;

г) $2,4$.

Дисперсия случайной величины, обозначаемая как $D(X)$ или $\sigma^2$, является квадратом её стандартного (среднеквадратического) отклонения, обозначаемого как $\sigma$. Формула, связывающая эти две величины, выглядит следующим образом:

$D(X) = \sigma^2$

Следовательно, для нахождения дисперсии необходимо возвести в квадрат заданное значение стандартного отклонения.

а) Если стандартное отклонение $\sigma = 7$, то дисперсия равна:

$D(X) = 7^2 = 49$

Ответ: 49.

б) Если стандартное отклонение $\sigma = 0,9$, то дисперсия равна:

$D(X) = (0,9)^2 = 0,81$

Ответ: 0,81.

в) Если стандартное отклонение $\sigma = 1,3$, то дисперсия равна:

$D(X) = (1,3)^2 = 1,69$

Ответ: 1,69.

г) Если стандартное отклонение $\sigma = 2,4$, то дисперсия равна:

$D(X) = (2,4)^2 = 5,76$

Ответ: 5,76.

266 В таблице 17 дано распределение вероятностей случайной величины $X$.

а) Составьте распределение случайной величины $X - \text{EX}$ (отклонения от математического ожидания).

б) Составьте распределение квадрата отклонения $(X - \text{EX})^2$.

в) Вычислите дисперсию случайной величины $X$.

г) Найдите стандартное отклонение величины $X$.

Таблица 17

Для решения задачи сначала необходимо вычислить математическое ожидание (EX) случайной величины X. Математическое ожидание дискретной случайной величины вычисляется по формуле $EX = \sum x_i p_i$, где $x_i$ — значения случайной величины, а $p_i$ — их соответствующие вероятности.

По данным из таблицы 17:

$EX = 1 \cdot 0,4 + 2 \cdot 0,1 + 3 \cdot 0,5 = 0,4 + 0,2 + 1,5 = 2,1$.

а) Составьте распределение случайной величины X – EX (отклонения от математического ожидания).

Новая случайная величина $Y = X - EX = X - 2,1$. Найдем ее возможные значения, вычитая математическое ожидание $EX=2,1$ из каждого значения X. Вероятности для новых значений остаются такими же, как и для соответствующих значений X.

Значение отклонения для $X = 1$: $1 - 2,1 = -1,1$ (вероятность $0,4$).

Значение отклонения для $X = 2$: $2 - 2,1 = -0,1$ (вероятность $0,1$).

Значение отклонения для $X = 3$: $3 - 2,1 = 0,9$ (вероятность $0,5$).

Таким образом, распределение случайной величины $X - EX$ имеет следующий вид:

Ответ: Таблица распределения для величины $X - EX$ представлена выше.

б) Составьте распределение квадрата отклонения $(X – EX)^2$.

Теперь рассмотрим случайную величину $Z = (X - EX)^2 = (X - 2,1)^2$. Найдем ее значения, возведя в квадрат значения отклонений, найденные в пункте а). Вероятности остаются теми же.

Значение квадрата отклонения для $X - EX = -1,1$: $(-1,1)^2 = 1,21$ (вероятность $0,4$).

Значение квадрата отклонения для $X - EX = -0,1$: $(-0,1)^2 = 0,01$ (вероятность $0,1$).

Значение квадрата отклонения для $X - EX = 0,9$: $(0,9)^2 = 0,81$ (вероятность $0,5$).

Распределение случайной величины $(X - EX)^2$ имеет следующий вид:

Ответ: Таблица распределения для величины $(X - EX)^2$ представлена выше.

в) Вычислите дисперсию случайной величины X.

Дисперсия $DX$ (или $Var(X)$) по определению является математическим ожиданием квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания: $DX = E[(X - EX)^2]$.

Для вычисления дисперсии используем распределение, полученное в пункте б):

$DX = \sum (x_i - EX)^2 p_i = 1,21 \cdot 0,4 + 0,01 \cdot 0,1 + 0,81 \cdot 0,5$.

Выполним вычисления:

$DX = 0,484 + 0,001 + 0,405 = 0,89$.

Ответ: $DX = 0,89$.

г) Найдите стандартное отклонение величины X.

Стандартное отклонение $\sigma(X)$ (или $SD(X)$) — это квадратный корень из дисперсии.

$\sigma(X) = \sqrt{DX}$.

Используя значение дисперсии, вычисленное в пункте в), находим:

$\sigma(X) = \sqrt{0,89} \approx 0,943398...$

Округлим результат до четырех знаков после запятой.

$\sigma(X) \approx 0,9434$.

Ответ: $\sigma(X) = \sqrt{0,89} \approx 0,9434$.

267 В таблице 18 дано распределение вероятностей случайной величины $X$.

а) Составьте распределение отклонения $X - EX$.

б) Составьте распределение квадрата отклонения $(X - EX)^2$.

в) Вычислите дисперсию случайной величины $X$.

г) Найдите стандартное отклонение величины $X$.

Таблица 18

Для решения задачи первым шагом необходимо вычислить математическое ожидание (EX) случайной величины X. Математическое ожидание для дискретной случайной величины вычисляется по формуле $EX = \sum x_i p_i$.

$EX = (-3) \cdot 0,2 + (-2) \cdot 0,3 + (-1) \cdot 0,3 + 0 \cdot 0,2 = -0,6 - 0,6 - 0,3 + 0 = -1,5$.

а) Составьте распределение отклонения X − EX.

Случайная величина "отклонение" представляет собой разность $X - EX$. Подставим вычисленное значение $EX = -1,5$:

$X - EX = X - (-1,5) = X + 1,5$.

Найдем значения этой новой случайной величины для каждого возможного значения X, при этом вероятности соответствующих значений сохраняются:

• Если $X = -3$, то отклонение равно $-3 - (-1,5) = -1,5$.
• Если $X = -2$, то отклонение равно $-2 - (-1,5) = -0,5$.
• Если $X = -1$, то отклонение равно $-1 - (-1,5) = 0,5$.
• Если $X = 0$, то отклонение равно $0 - (-1,5) = 1,5$.

Таким образом, искомое распределение отклонения $X - EX$ имеет вид:

Ответ: Распределение отклонения представлено в таблице выше.

б) Составьте распределение квадрата отклонения (X − EX)².

Теперь найдем значения для случайной величины $(X - EX)^2$, используя значения отклонений из пункта (а):

• $(-1,5)^2 = 2,25$ (с вероятностью 0,2)
• $(-0,5)^2 = 0,25$ (с вероятностью 0,3)
• $(0,5)^2 = 0,25$ (с вероятностью 0,3)
• $(1,5)^2 = 2,25$ (с вероятностью 0,2)

Мы видим, что есть повторяющиеся значения. Сгруппируем их и просуммируем их вероятности:

• Вероятность того, что $(X - EX)^2 = 0,25$, равна $0,3 + 0,3 = 0,6$.
• Вероятность того, что $(X - EX)^2 = 2,25$, равна $0,2 + 0,2 = 0,4$.

Закон распределения для квадрата отклонения $(X - EX)^2$ выглядит так:

Ответ: Распределение квадрата отклонения представлено в таблице выше.

в) Вычислите дисперсию случайной величины X.

Дисперсия $Var(X)$ (или $DX$) по определению является математическим ожиданием квадрата отклонения: $Var(X) = E[(X - EX)^2]$. Для её вычисления используем распределение, найденное в пункте (б):

$Var(X) = 0,25 \cdot 0,6 + 2,25 \cdot 0,4 = 0,15 + 0,90 = 1,05$.

Ответ: $Var(X) = 1,05$.

г) Найдите стандартное отклонение величины X.

Стандартное отклонение (или среднее квадратическое отклонение) $\sigma(X)$ равно квадратному корню из дисперсии.

$\sigma(X) = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{1,05}$.

Вычисляя значение корня, получаем: $\sqrt{1,05} \approx 1,0247$. Округлим до трех знаков после запятой: $1,025$.

Ответ: $\sigma(X) = \sqrt{1,05} \approx 1,025$.

1 Сформулируйте определение дисперсии случайной величины и запишите формулу для дисперсии.

1

Определение: Дисперсией случайной величины $X$ называется математическое ожидание квадрата отклонения этой случайной величины от её математического ожидания. Дисперсия является числовой характеристикой, которая показывает, насколько значения случайной величины рассеяны относительно её среднего значения. Чем больше дисперсия, тем больше разброс. Обозначается как $D(X)$ или $Var(X)$.

Формулы для вычисления дисперсии:

Основная формула, которая следует непосредственно из определения:
$D(X) = M[(X - M(X))^2]$
Здесь $M(X)$ — это математическое ожидание случайной величины $X$.

Эта общая формула конкретизируется в зависимости от типа случайной величины:
- Для дискретной случайной величины, которая принимает значения $x_1, x_2, ..., x_n$ с вероятностями $p_1, p_2, ..., p_n$:
$D(X) = \sum_{i=1}^{n} (x_i - M(X))^2 p_i$
- Для непрерывной случайной величины с плотностью распределения вероятностей $f(x)$:
$D(X) = \int_{-\infty}^{\infty} (x - M(X))^2 f(x) dx$

Для практических расчетов часто используют более удобную формулу, которая выводится из основной. Она связывает дисперсию с математическим ожиданием самой случайной величины и её квадрата:
$D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$
Эта формула утверждает, что дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины ($M(X^2)$) и квадратом её математического ожидания ($[M(X)]^2$).

Ответ: Дисперсия случайной величины — это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания. Основные формулы для её нахождения:
1) По определению: $D(X) = M[(X - M(X))^2]$.
2) Расчетная формула: $D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$.

2 Что такое стандартное отклонение случайной величины? Запишите формулу стандартного отклонения.

Стандартное отклонение (также известное как среднеквадратическое отклонение, СКО) — это наиболее распространенный показатель рассеивания или разброса значений случайной величины относительно её математического ожидания (среднего значения). Оно показывает, насколько в среднем значения в наборе данных отличаются от их среднего. Малое значение стандартного отклонения указывает на то, что значения случайной величины сконцентрированы близко к среднему. Большое значение, наоборот, свидетельствует о сильном разбросе значений. Преимущество стандартного отклонения перед дисперсией заключается в том, что оно измеряется в тех же единицах, что и сама случайная величина, что делает его более интуитивно понятным.

Стандартное отклонение является квадратным корнем из дисперсии. Дисперсия ($Var(X)$ или $\sigma^2$) — это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания.

Формулу стандартного отклонения, обозначаемого греческой буквой сигма ($\sigma$), можно записать следующим образом. Для случайной величины $X$ с математическим ожиданием $\mu = E[X]$, общая формула:

$\sigma = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{E\left[(X - \mu)^2\right]}$

В зависимости от типа случайной величины, эта формула конкретизируется.

Для дискретной случайной величины, которая может принимать значения $x_1, x_2, \dots, x_n$ с соответствующими вероятностями $p_1, p_2, \dots, p_n$, формула выглядит так:

$\sigma = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2 p_i}$, где математическое ожидание $\mu = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i$.

Для непрерывной случайной величины с функцией плотности вероятности $f(x)$, формула такова:

$\sigma = \sqrt{\int_{-\infty}^{\infty} (x - \mu)^2 f(x) dx}$, где математическое ожидание $\mu = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx$.

В статистике, при анализе данных, чаще всего вычисляют выборочное стандартное отклонение ($s$), которое является оценкой истинного стандартного отклонения для генеральной совокупности. Для выборки $x_1, x_2, \dots, x_N$ его формула:

$s = \sqrt{\frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^{N} (x_i - \bar{x})^2}$

Здесь $\bar{x}$ — это выборочное среднее (среднее арифметическое), а в знаменателе используется $N-1$ (число степеней свободы) для получения несмещённой оценки дисперсии генеральной совокупности.

Ответ: Стандартное отклонение — это мера разброса значений случайной величины относительно её математического ожидания, равная квадратному корню из дисперсии. Основная формула для случайной величины $X$: $\sigma = \sqrt{E[(X - E[X])^2]}$.

3 Результат измерения площади жилой комнаты — случайная величина, которая измеряется в квадратных метрах. В каких единицах измеряется дисперсия этой случайной величины? В каких единицах измеряется стандартное отклонение этой случайной величины?

В каких единицах измеряется дисперсия этой случайной величины?

Пусть $X$ — случайная величина, представляющая результат измерения площади жилой комнаты. Согласно условию, единица измерения этой величины — квадратные метры ($м^2$).

Дисперсия случайной величины $X$ по определению является математическим ожиданием квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания $\mu = E[X]$. Формула для дисперсии: $D(X) = E[(X - \mu)^2]$.

Проанализируем единицы измерения величин в этой формуле. Так как сама величина $X$ и её математическое ожидание $\mu$ измеряются в квадратных метрах ($м^2$), то их разность (отклонение) $(X - \mu)$ также измеряется в квадратных метрах. Следовательно, квадрат отклонения $(X - \mu)^2$ будет измеряться в единицах, равных квадрату исходных единиц, то есть $(м^2)^2 = м^4$ (метры в четвертой степени).

Операция вычисления математического ожидания $E[\cdot]$ представляет собой усреднение и не изменяет единицу измерения величины. Поэтому дисперсия $D(X)$ будет иметь ту же единицу измерения, что и величина $(X - \mu)^2$.

Ответ: Дисперсия этой случайной величины измеряется в квадратных метрах в квадрате ($м^4$).

В каких единицах измеряется стандартное отклонение этой случайной величины?

Стандартное отклонение (также называемое среднеквадратическим отклонением) $\sigma$ по определению является квадратным корнем из дисперсии: $\sigma = \sqrt{D(X)}$.

Исходя из предыдущего пункта, мы знаем, что дисперсия измеряется в $м^4$. Чтобы найти единицу измерения стандартного отклонения, нужно извлечь квадратный корень из единицы измерения дисперсии: $\sqrt{м^4} = м^2$.

Таким образом, стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и исходная случайная величина (площадь комнаты).

Ответ: Стандартное отклонение этой случайной величины измеряется в квадратных метрах ($м^2$).