Номер 266, страница 91, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

266 В таблице 17 дано распределение вероятностей случайной величины $X$.

а) Составьте распределение случайной величины $X - \text{EX}$ (отклонения от математического ожидания).

б) Составьте распределение квадрата отклонения $(X - \text{EX})^2$.

в) Вычислите дисперсию случайной величины $X$.

г) Найдите стандартное отклонение величины $X$.

Таблица 17

Для решения задачи сначала необходимо вычислить математическое ожидание (EX) случайной величины X. Математическое ожидание дискретной случайной величины вычисляется по формуле $EX = \sum x_i p_i$, где $x_i$ — значения случайной величины, а $p_i$ — их соответствующие вероятности.

По данным из таблицы 17:

$EX = 1 \cdot 0,4 + 2 \cdot 0,1 + 3 \cdot 0,5 = 0,4 + 0,2 + 1,5 = 2,1$.

а) Составьте распределение случайной величины X – EX (отклонения от математического ожидания).

Новая случайная величина $Y = X - EX = X - 2,1$. Найдем ее возможные значения, вычитая математическое ожидание $EX=2,1$ из каждого значения X. Вероятности для новых значений остаются такими же, как и для соответствующих значений X.

Значение отклонения для $X = 1$: $1 - 2,1 = -1,1$ (вероятность $0,4$).

Значение отклонения для $X = 2$: $2 - 2,1 = -0,1$ (вероятность $0,1$).

Значение отклонения для $X = 3$: $3 - 2,1 = 0,9$ (вероятность $0,5$).

Таким образом, распределение случайной величины $X - EX$ имеет следующий вид:

Ответ: Таблица распределения для величины $X - EX$ представлена выше.

б) Составьте распределение квадрата отклонения $(X – EX)^2$.

Теперь рассмотрим случайную величину $Z = (X - EX)^2 = (X - 2,1)^2$. Найдем ее значения, возведя в квадрат значения отклонений, найденные в пункте а). Вероятности остаются теми же.

Значение квадрата отклонения для $X - EX = -1,1$: $(-1,1)^2 = 1,21$ (вероятность $0,4$).

Значение квадрата отклонения для $X - EX = -0,1$: $(-0,1)^2 = 0,01$ (вероятность $0,1$).

Значение квадрата отклонения для $X - EX = 0,9$: $(0,9)^2 = 0,81$ (вероятность $0,5$).

Распределение случайной величины $(X - EX)^2$ имеет следующий вид:

Ответ: Таблица распределения для величины $(X - EX)^2$ представлена выше.

в) Вычислите дисперсию случайной величины X.

Дисперсия $DX$ (или $Var(X)$) по определению является математическим ожиданием квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания: $DX = E[(X - EX)^2]$.

Для вычисления дисперсии используем распределение, полученное в пункте б):

$DX = \sum (x_i - EX)^2 p_i = 1,21 \cdot 0,4 + 0,01 \cdot 0,1 + 0,81 \cdot 0,5$.

Выполним вычисления:

$DX = 0,484 + 0,001 + 0,405 = 0,89$.

Ответ: $DX = 0,89$.

г) Найдите стандартное отклонение величины X.

Стандартное отклонение $\sigma(X)$ (или $SD(X)$) — это квадратный корень из дисперсии.

$\sigma(X) = \sqrt{DX}$.

Используя значение дисперсии, вычисленное в пункте в), находим:

$\sigma(X) = \sqrt{0,89} \approx 0,943398...$

Округлим результат до четырех знаков после запятой.

$\sigma(X) \approx 0,9434$.

Ответ: $\sigma(X) = \sqrt{0,89} \approx 0,9434$.