Номер 2, страница 89, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

2 Может ли быть так, что все значения случайной величины положительны, а математическое ожидание этой величины отрицательно?

Нет, такая ситуация невозможна. Математическое ожидание случайной величины, принимающей только положительные значения, не может быть отрицательным; оно всегда будет строго положительным.

Докажем это утверждение. Рассмотрим два случая: для дискретной и для непрерывной случайной величины.

1. Дискретная случайная величина.

Пусть $X$ — дискретная случайная величина, которая принимает значения $x_1, x_2, \dots, x_n$ с соответствующими вероятностями $p_1, p_2, \dots, p_n$. Математическое ожидание $E[X]$ вычисляется по формуле:

$E[X] = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \dots + x_n p_n$

Проанализируем компоненты этой формулы в соответствии с условиями задачи и определениями из теории вероятностей:

• По условию, все значения случайной величины положительны: $x_i > 0$ для всех $i$.
• По определению, любая вероятность является неотрицательной величиной: $p_i \ge 0$.
• Так как это закон распределения вероятностей, сумма всех вероятностей равна 1: $\sum_{i=1}^{n} p_i = 1$. Это означает, что по крайней мере одна вероятность $p_k$ должна быть строго больше нуля ($p_k > 0$).

Каждый член суммы, $x_i p_i$, является произведением строго положительного числа ($x_i$) и неотрицательного числа ($p_i$). Следовательно, каждый такой член неотрицателен: $x_i p_i \ge 0$.

Поскольку существует хотя бы одно значение $x_k$ с вероятностью $p_k > 0$, то соответствующий член суммы $x_k p_k$ будет строго положительным. Сумма неотрицательных слагаемых, среди которых есть хотя бы одно строго положительное, всегда будет строго положительной величиной. Таким образом, $E[X] > 0$.

2. Непрерывная случайная величина.

Пусть $X$ — непрерывная случайная величина, принимающая только положительные значения. Это означает, что её функция плотности вероятности $f(x)$ равна нулю для всех $x \le 0$. Математическое ожидание в этом случае определяется интегралом:

$E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx = \int_{0}^{\infty} x f(x) dx$

В области интегрирования (от 0 до $\infty$):

• Переменная $x$ положительна ($x>0$, за исключением точки 0).
• Функция плотности вероятности по определению неотрицательна: $f(x) \ge 0$.

Следовательно, подынтегральное выражение $x f(x)$ является неотрицательной функцией. Интеграл от неотрицательной функции, которая не равна тождественно нулю (поскольку $\int_{0}^{\infty} f(x) dx = 1$), всегда будет строго положительным числом. Таким образом, и в этом случае $E[X] > 0$.

В обоих случаях мы приходим к выводу, что если случайная величина принимает только положительные значения, ее математическое ожидание также должно быть положительным.

Ответ: нет, не может.