Номер 258, страница 89, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

258 Найдите $EZ$, если случайная величина $Z$ с равными вероятностями принимает:

a) все целые значения от -15 до 15;

б) все чётные целые значения от 2 до 16.

а) все целые значения от –15 до 15;

Математическое ожидание $EZ$ для дискретной случайной величины $Z$, принимающей $n$ значений $z_1, z_2, \ldots, z_n$ с равными вероятностями, вычисляется как среднее арифметическое этих значений. Вероятность каждого значения $p = 1/n$.

Формула для математического ожидания:

$EZ = \sum_{i=1}^{n} z_i p_i = \sum_{i=1}^{n} z_i \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} z_i$

В данном случае случайная величина $Z$ принимает все целые значения от –15 до 15 включительно. Найдем количество этих значений, $n$. Это количество целых чисел в диапазоне, которое можно найти по формуле:

$n = \text{последнее} - \text{первое} + 1 = 15 - (-15) + 1 = 15 + 15 + 1 = 31$.

Теперь найдем сумму этих значений. Значения представляют собой арифметическую прогрессию: $-15, -14, \ldots, 0, \ldots, 14, 15$. Сумма такой симметричной последовательности равна нулю, так как для каждого положительного числа есть соответствующее отрицательное. Формально, используя формулу суммы арифметической прогрессии $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$:

$\sum z_i = \frac{31 \cdot (-15 + 15)}{2} = \frac{31 \cdot 0}{2} = 0$.

Теперь вычислим математическое ожидание:

$EZ = \frac{1}{n} \sum z_i = \frac{1}{31} \cdot 0 = 0$.

Ответ: 0

б) все чётные целые значения от 2 до 16.

В данном случае случайная величина $Z$ принимает все чётные целые значения от 2 до 16 включительно. Это значения: $2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16$.

Найдем количество этих значений, $n$. Значения образуют арифметическую прогрессию с первым членом $a_1 = 2$, последним членом $a_n = 16$ и разностью $d=2$.

Количество членов прогрессии можно найти по формуле $n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1$:

$n = \frac{16 - 2}{2} + 1 = \frac{14}{2} + 1 = 7 + 1 = 8$.

Теперь найдем сумму этих значений, используя формулу суммы арифметической прогрессии $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$:

$\sum z_i = \frac{8 \cdot (2 + 16)}{2} = \frac{8 \cdot 18}{2} = 4 \cdot 18 = 72$.

Теперь вычислим математическое ожидание:

$EZ = \frac{1}{n} \sum z_i = \frac{1}{8} \cdot 72 = 9$.

Ответ: 9