Номер 3, страница 84, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

3 Всегда ли различные значения случайной величины имеют равные вероятности?

Нет, далеко не всегда различные значения случайной величины имеют равные вероятности. Ситуация, когда все возможные значения случайной величины равновероятны, является частным, хотя и важным, случаем.

Случай с равными вероятностями (Равномерное распределение)

Равные вероятности возникают тогда, когда все элементарные исходы эксперимента, порождающего случайную величину, равновозможны. Классическим примером является бросок идеальной игральной кости.

Пусть случайная величина $X$ — это число очков, выпавшее при одном броске симметричной шестигранной кости. Возможные значения $X$: {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Вероятность каждого из этих значений одинакова и равна $1/6$:

$P(X=1) = P(X=2) = P(X=3) = P(X=4) = P(X=5) = P(X=6) = \frac{1}{6}$

В этом случае значения случайной величины действительно имеют равные вероятности.

Случай с неравными вероятностями

Однако в большинстве случаев вероятности различных значений случайной величины не равны. Рассмотрим пример, который это наглядно иллюстрирует.

Пусть случайная величина $Y$ — это сумма очков, выпавших при броске двух идеальных игральных костей. Возможные значения $Y$: {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}.

Найдем вероятности для некоторых из этих значений. Общее число равновозможных исходов (пар чисел на костях) равно $6 \times 6 = 36$.

• Значение $Y=2$ может быть получено только одним способом: (1, 1). Вероятность: $P(Y=2) = \frac{1}{36}$.
• Значение $Y=3$ может быть получено двумя способами: (1, 2) и (2, 1). Вероятность: $P(Y=3) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$.
• Значение $Y=7$ является наиболее вероятным и может быть получено шестью способами: (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1). Вероятность: $P(Y=7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.

Как мы видим, $P(Y=2) \neq P(Y=3) \neq P(Y=7)$. Вероятности различных значений случайной величины $Y$ не равны.

Вывод

Случайные величины, у которых все значения имеют одинаковую вероятность, существуют, но это лишь один из видов распределений (дискретное равномерное распределение). Во множестве других случаев, таких как биномиальное, пуассоновское или, как в примере выше, распределение суммы очков двух костей, вероятности различных значений не являются равными.

Ответ: Нет, различные значения случайной величины не всегда имеют равные вероятности. Это справедливо только для некоторых специальных случаев, например, для дискретного равномерного распределения. В общем случае вероятности могут быть различными.