Номер 252, страница 84, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

252 Опыт состоит в бросании двух игральных костей. Заполните таблицу распределения вероятностей и постройте соответствующие диаграммы для случайной величины:

а) наибольшее из двух выпавших очков;

б) наименьшее из двух выпавших очков.

Указание. Наибольшее из данных чисел — это число, больше которого нет. Поэтому, если числа равны, то считается, что каждое из них наибольшее. Например, если оба раза выпало три очка, то считается, что наибольшее выпавшее число очков — три. То же самое с наименьшим значением.

При бросании двух игральных костей общее число равновероятных исходов равно $6 \times 6 = 36$. Каждый исход представляет собой упорядоченную пару чисел $(i, j)$, где $i$ — число очков на первой кости, а $j$ — на второй ($i, j \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$).

Пусть случайная величина $X$ — это наибольшее из двух выпавших очков. Возможные значения, которые может принимать $X$, это $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

Для нахождения вероятностей $P(X=k)$ для каждого возможного значения $k$ подсчитаем число благоприятствующих исходов. Исход, в котором наибольшее значение равно $k$, означает, что хотя бы на одной кости выпало $k$, а на другой — число, не большее $k$. Более удобный способ подсчета — найти число исходов, где наибольшее значение не превышает $k$ (это $k \times k = k^2$ исходов), и вычесть из него число исходов, где наибольшее значение не превышает $k-1$ (это $(k-1)^2$ исходов). Таким образом, число исходов, где наибольшее значение в точности равно $k$, составляет $k^2 - (k-1)^2 = 2k-1$.

Рассчитаем вероятности для каждого значения $X$:
- Для $X=1$: число исходов $2 \cdot 1 - 1 = 1$. Это исход (1, 1). Вероятность $P(X=1) = \frac{1}{36}$.
- Для $X=2$: число исходов $2 \cdot 2 - 1 = 3$. Это исходы (1, 2), (2, 1), (2, 2). Вероятность $P(X=2) = \frac{3}{36}$.
- Для $X=3$: число исходов $2 \cdot 3 - 1 = 5$. Вероятность $P(X=3) = \frac{5}{36}$.
- Для $X=4$: число исходов $2 \cdot 4 - 1 = 7$. Вероятность $P(X=4) = \frac{7}{36}$.
- Для $X=5$: число исходов $2 \cdot 5 - 1 = 9$. Вероятность $P(X=5) = \frac{9}{36}$.
- Для $X=6$: число исходов $2 \cdot 6 - 1 = 11$. Вероятность $P(X=6) = \frac{11}{36}$.

Сумма всех вероятностей: $\frac{1+3+5+7+9+11}{36} = \frac{36}{36} = 1$.

Таблица распределения вероятностей для случайной величины $X$:

Диаграмма распределения вероятностей (полигон распределения):

Ответ:

Пусть случайная величина $Y$ — это наименьшее из двух выпавших очков. Возможные значения, которые может принимать $Y$, также $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

Для нахождения вероятностей $P(Y=k)$ для каждого значения $k$ подсчитаем число благоприятствующих исходов. Исход, в котором наименьшее значение равно $k$, означает, что хотя бы на одной кости выпало $k$, а на другой — число, не меньшее $k$. Число исходов, где наименьшее значение не меньше $k$ (т.е. оба значения $\ge k$), равно $(6-(k-1))^2 = (7-k)^2$. Число исходов, где наименьшее значение не меньше $k+1$, равно $(7-(k+1))^2 = (6-k)^2$. Тогда число исходов, где наименьшее значение в точности равно $k$, составляет $(7-k)^2 - (6-k)^2$.

Рассчитаем вероятности для каждого значения $Y$:
- Для $Y=1$: число исходов $(7-1)^2 - (6-1)^2 = 6^2 - 5^2 = 36 - 25 = 11$. Вероятность $P(Y=1) = \frac{11}{36}$.
- Для $Y=2$: число исходов $(7-2)^2 - (6-2)^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9$. Вероятность $P(Y=2) = \frac{9}{36}$.
- Для $Y=3$: число исходов $(7-3)^2 - (6-3)^2 = 4^2 - 3^2 = 16 - 9 = 7$. Вероятность $P(Y=3) = \frac{7}{36}$.
- Для $Y=4$: число исходов $(7-4)^2 - (6-4)^2 = 3^2 - 2^2 = 9 - 4 = 5$. Вероятность $P(Y=4) = \frac{5}{36}$.
- Для $Y=5$: число исходов $(7-5)^2 - (6-5)^2 = 2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3$. Вероятность $P(Y=5) = \frac{3}{36}$.
- Для $Y=6$: число исходов $(7-6)^2 - (6-6)^2 = 1^2 - 0^2 = 1$. Это исход (6, 6). Вероятность $P(Y=6) = \frac{1}{36}$.

Сумма всех вероятностей: $\frac{11+9+7+5+3+1}{36} = \frac{36}{36} = 1$.

Таблица распределения вероятностей для случайной величины $Y$:

Диаграмма распределения вероятностей (полигон распределения):

Ответ: