Номер 1, страница 84, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

1 Что такое распределение вероятностей случайной величины?

Распределение вероятностей случайной величины — это закон, который описывает, как вероятности распределены между возможными значениями этой случайной величины. Иными словами, это правило (в виде таблицы, функции или графика), которое устанавливает соответствие между значениями, которые может принимать случайная величина, и вероятностями их появления.

Способ задания распределения зависит от типа случайной величины, которая может быть дискретной или непрерывной.

Для дискретной случайной величины

Дискретная случайная величина может принимать конечное или счетное множество значений ($x_1, x_2, \dots, x_n, \dots$). Ее распределение вероятностей чаще всего задается рядом распределения — таблицей, в которой каждому возможному значению $x_i$ сопоставляется его вероятность $p_i = P(X=x_i)$.

Для ряда распределения должны выполняться два условия:
1. Все вероятности неотрицательны: $p_i \ge 0$.
2. Сумма всех вероятностей равна единице: $\sum_{i} p_i = 1$.

Пример: Распределение вероятностей для числа очков, выпадающих при однократном броске стандартного игрального кубика. Случайная величина $X$ — число очков.

Здесь сумма вероятностей: $6 \times \frac{1}{6} = 1$.

Для непрерывной случайной величины

Непрерывная случайная величина может принимать любое значение из некоторого числового промежутка. Вероятность того, что она примет одно конкретное значение, равна нулю. Поэтому для непрерывных величин распределение задают с помощью функции плотности вероятности (probability density function, PDF), обозначаемой как $f(x)$.

Функция плотности вероятности $f(x)$ — это неотрицательная функция, для которой вероятность попадания случайной величины $X$ в интервал $[a, b]$ равна площади под графиком этой функции на данном интервале. Эта площадь вычисляется с помощью интеграла:
$P(a \le X \le b) = \int_{a}^{b} f(x)dx$

Для функции плотности вероятности должны выполняться два условия:
1. Неотрицательность: $f(x) \ge 0$ для всех $x$.
2. Условие нормировки: площадь под всем графиком функции равна единице: $\int_{-\infty}^{\infty} f(x)dx = 1$.

Универсальный способ: функция распределения

Наиболее общим способом описания распределения, подходящим как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин, является интегральная функция распределения (cumulative distribution function, CDF), обозначаемая как $F(x)$.

Эта функция для любого числа $x$ определяет вероятность того, что случайная величина $X$ примет значение, меньшее или равное $x$:
$F(x) = P(X \le x)$

Основные свойства функции распределения $F(x)$:
1. Значения функции лежат в отрезке $[0, 1]$: $0 \le F(x) \le 1$.
2. $F(x)$ является неубывающей функцией.
3. $\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0$ и $\lim_{x \to +\infty} F(x) = 1$.

Для непрерывной случайной величины функция распределения связана с функцией плотности соотношением $F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)dt$, а плотность является производной функции распределения: $f(x) = F'(x)$.

Ответ: Распределение вероятностей случайной величины — это закон (правило), который устанавливает соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями. Для дискретных величин его часто задают рядом распределения (таблицей), а для непрерывных — функцией плотности вероятности. Универсальным способом описания является функция распределения, которая показывает вероятность того, что случайная величина примет значение, не превышающее заданного.