Номер 2, страница 84, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

2 Сформулируйте основное свойство распределения случайной величины.

Основное свойство распределения любой случайной величины, известное как условие нормировки, заключается в том, что полная вероятность всех возможных исходов равна единице. Это свойство выражает тот факт, что в результате опыта случайная величина обязательно примет одно из своих возможных значений. Событие, состоящее в том, что случайная величина примет какое-либо значение из своей области определения, является достоверным, и его вероятность равна 1.

В зависимости от типа случайной величины это свойство формулируется по-разному.

Для дискретной случайной величины (ДСВ)

Дискретная случайная величина $X$ принимает конечное или счётное множество значений $x_1, x_2, \dots, x_n, \dots$ с соответствующими вероятностями $p_1, p_2, \dots, p_n, \dots$, где $p_i = P(X = x_i)$. Закон её распределения часто задаётся в виде ряда распределения. Основное свойство для ДСВ состоит в том, что сумма вероятностей всех её возможных значений равна единице.

Математически это записывается так:

$\sum_{i} p_i = 1$

Суммирование производится по всем возможным значениям $i$. Например, при броске игральной кости сумма вероятностей выпадения каждой из граней (от 1 до 6) равна $\frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = 1$.

Для непрерывной случайной величины (НСВ)

Непрерывная случайная величина $X$ может принимать любые значения из некоторого числового промежутка. Её распределение описывается с помощью функции плотности вероятности (или плотности распределения) $f(x)$. Эта функция является неотрицательной ($f(x) \ge 0$). Основное свойство для НСВ заключается в том, что интеграл от функции плотности вероятности по всей числовой оси (то есть по всей области возможных значений случайной величины) равен единице.

Математически это записывается так:

$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx = 1$

Геометрически это означает, что полная площадь под кривой графика функции плотности распределения $f(x)$ равна 1.

Ответ: Основное свойство распределения случайной величины (условие нормировки) заключается в том, что сумма вероятностей всех возможных значений для дискретной случайной величины равна 1 (математически: $\sum_{i} p_i = 1$), а для непрерывной случайной величины несобственный интеграл от функции плотности вероятности в пределах от $-\infty$ до $+\infty$ равен 1 (математически: $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx = 1$).