Номер 259, страница 89, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

259 На вокзале игрок предлагает прохожим игру. Он зажимает в кулаке носовой платок так, что четыре уголка торчат наружу между пальцами. Прохожий берёт платок за два уголка и вытягивает его. Если прохожий вытягивает платок за соседние уголки, то проигрывает 50 р. Если прохожий вытягивает два противоположных уголка, то выигрывает 50 р. Составьте распределение и найдите математическое ожидание случайной величины $X$ «выигрыш прохожего».

Пусть $X$ – случайная величина, обозначающая выигрыш прохожего. Возможные значения этой величины: $50$ рублей в случае выигрыша и $-50$ рублей в случае проигрыша.

Сначала определим общее число исходов. Прохожий выбирает 2 уголка из 4 доступных. Число способов сделать это равно числу сочетаний из 4 по 2:
$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$.
Таким образом, существует 6 равновероятных способов выбрать пару уголков.

Теперь определим количество благоприятных исходов для каждого события:

• Выигрыш: Происходит, если выбраны два противоположных уголка. В четырехугольном платке есть 2 пары противоположных уголков.
• Проигрыш: Происходит, если выбраны два соседних уголка. В четырехугольном платке есть 4 пары соседних уголков (по одной для каждой стороны).

Найдем вероятности этих событий:
Вероятность выигрыша ($X = 50$): $p_1 = \frac{\text{число пар противоположных уголков}}{\text{общее число пар}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
Вероятность проигрыша ($X = -50$): $p_2 = \frac{\text{число пар соседних уголков}}{\text{общее число пар}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Распределение случайной величины X «выигрыш прохожего»

На основе вычисленных вероятностей составим закон распределения для случайной величины $X$. Его можно представить в виде таблицы:

Ответ: Закон распределения случайной величины X: $X=50$ с вероятностью $1/3$; $X=-50$ с вероятностью $2/3$.

Математическое ожидание случайной величины X

Математическое ожидание $M(X)$ дискретной случайной величины вычисляется как сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности:
$M(X) = \sum x_i p_i$.

Подставим значения из таблицы распределения:
$M(X) = (50 \times \frac{1}{3}) + (-50 \times \frac{2}{3}) = \frac{50}{3} - \frac{100}{3} = -\frac{50}{3}$.

В виде десятичной дроби это составляет:
$M(X) = -16 \frac{2}{3} \approx -16.67$ рублей.

Отрицательное значение математического ожидания означает, что игра невыгодна для прохожего, и в среднем он будет проигрывать около 16 рублей 67 копеек за каждую игру.

Ответ: Математическое ожидание выигрыша прохожего составляет $M(X) = -\frac{50}{3}$ рублей.