Номер 263, страница 91, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

263 Монету бросают 2 раза. Постройте распределение и найдите дисперсию случайной величины «число выпавших орлов».

Пусть $X$ — это случайная величина, равная «числу выпавших орлов» при двух бросках монеты.

Обозначим выпадение орла как «О», а решки — как «Р». Тогда все возможные равновероятные исходы при двух бросках: РР, ОР, РО, ОО. Всего 4 исхода.

Постройте распределение

Случайная величина $X$ (число орлов) может принимать значения 0, 1 или 2.

Вероятность того, что орлов не будет ($X=0$), соответствует одному исходу (РР) из четырех:
$P(X=0) = \frac{1}{4}$.

Вероятность того, что выпадет один орёл ($X=1$), соответствует двум исходам (ОР и РО) из четырех:
$P(X=1) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Вероятность того, что выпадет два орла ($X=2$), соответствует одному исходу (ОО) из четырех:
$P(X=2) = \frac{1}{4}$.

Таким образом, закон распределения случайной величины $X$ (ряд распределения) имеет следующий вид:
- при $X=0$, вероятность $P = 1/4$;
- при $X=1$, вероятность $P = 1/2$;
- при $X=2$, вероятность $P = 1/4$.
Проверка: $1/4 + 1/2 + 1/4 = 1$.

Ответ: Закон распределения: $P(X=0) = 1/4$, $P(X=1) = 1/2$, $P(X=2) = 1/4$.

Найдите дисперсию

Дисперсия случайной величины $D(X)$ вычисляется по формуле $D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$, где $M(X)$ — математическое ожидание.

1. Найдём математическое ожидание $M(X)$:
$M(X) = \sum x_i p_i = 0 \cdot \frac{1}{4} + 1 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{4} = 0 + \frac{1}{2} + \frac{2}{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.

2. Найдём математическое ожидание квадрата случайной величины $M(X^2)$:
$M(X^2) = \sum x_i^2 p_i = 0^2 \cdot \frac{1}{4} + 1^2 \cdot \frac{1}{2} + 2^2 \cdot \frac{1}{4} = 0 + 1 \cdot \frac{1}{2} + 4 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2} + 1 = 1.5$.

3. Вычислим дисперсию $D(X)$:
$D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2 = 1.5 - 1^2 = 1.5 - 1 = 0.5$.

Ответ: дисперсия случайной величины равна $0.5$.