Номер 267, страница 91, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

267 В таблице 18 дано распределение вероятностей случайной величины $X$.

а) Составьте распределение отклонения $X - EX$.

б) Составьте распределение квадрата отклонения $(X - EX)^2$.

в) Вычислите дисперсию случайной величины $X$.

г) Найдите стандартное отклонение величины $X$.

Таблица 18

Для решения задачи первым шагом необходимо вычислить математическое ожидание (EX) случайной величины X. Математическое ожидание для дискретной случайной величины вычисляется по формуле $EX = \sum x_i p_i$.

$EX = (-3) \cdot 0,2 + (-2) \cdot 0,3 + (-1) \cdot 0,3 + 0 \cdot 0,2 = -0,6 - 0,6 - 0,3 + 0 = -1,5$.

а) Составьте распределение отклонения X − EX.

Случайная величина "отклонение" представляет собой разность $X - EX$. Подставим вычисленное значение $EX = -1,5$:

$X - EX = X - (-1,5) = X + 1,5$.

Найдем значения этой новой случайной величины для каждого возможного значения X, при этом вероятности соответствующих значений сохраняются:

• Если $X = -3$, то отклонение равно $-3 - (-1,5) = -1,5$.
• Если $X = -2$, то отклонение равно $-2 - (-1,5) = -0,5$.
• Если $X = -1$, то отклонение равно $-1 - (-1,5) = 0,5$.
• Если $X = 0$, то отклонение равно $0 - (-1,5) = 1,5$.

Таким образом, искомое распределение отклонения $X - EX$ имеет вид:

Ответ: Распределение отклонения представлено в таблице выше.

б) Составьте распределение квадрата отклонения (X − EX)².

Теперь найдем значения для случайной величины $(X - EX)^2$, используя значения отклонений из пункта (а):

• $(-1,5)^2 = 2,25$ (с вероятностью 0,2)
• $(-0,5)^2 = 0,25$ (с вероятностью 0,3)
• $(0,5)^2 = 0,25$ (с вероятностью 0,3)
• $(1,5)^2 = 2,25$ (с вероятностью 0,2)

Мы видим, что есть повторяющиеся значения. Сгруппируем их и просуммируем их вероятности:

• Вероятность того, что $(X - EX)^2 = 0,25$, равна $0,3 + 0,3 = 0,6$.
• Вероятность того, что $(X - EX)^2 = 2,25$, равна $0,2 + 0,2 = 0,4$.

Закон распределения для квадрата отклонения $(X - EX)^2$ выглядит так:

Ответ: Распределение квадрата отклонения представлено в таблице выше.

в) Вычислите дисперсию случайной величины X.

Дисперсия $Var(X)$ (или $DX$) по определению является математическим ожиданием квадрата отклонения: $Var(X) = E[(X - EX)^2]$. Для её вычисления используем распределение, найденное в пункте (б):

$Var(X) = 0,25 \cdot 0,6 + 2,25 \cdot 0,4 = 0,15 + 0,90 = 1,05$.

Ответ: $Var(X) = 1,05$.

г) Найдите стандартное отклонение величины X.

Стандартное отклонение (или среднее квадратическое отклонение) $\sigma(X)$ равно квадратному корню из дисперсии.

$\sigma(X) = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{1,05}$.

Вычисляя значение корня, получаем: $\sqrt{1,05} \approx 1,0247$. Округлим до трех знаков после запятой: $1,025$.

Ответ: $\sigma(X) = \sqrt{1,05} \approx 1,025$.