Номер 2, страница 93, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

2 Производится серия испытаний Бернулли. Выберите верное утверждение:

а) чем больше вероятность успеха, тем больше математическое ожидание числа неудач;

б) чем больше вероятность успеха, тем меньше математическое ожидание числа неудач;

в) среднее число успехов зависит только от числа экспериментов и не связано с вероятностью успеха.

Для анализа предложенных утверждений воспользуемся основными понятиями и формулами теории вероятностей, относящимися к схеме испытаний Бернулли.

Пусть $n$ — это общее количество проводимых независимых испытаний (экспериментов).
Пусть $p$ — это вероятность "успеха" в каждом отдельном испытании. Значение $p$ может быть от 0 до 1.
Тогда вероятность "неудачи" в каждом испытании равна $q = 1 - p$.

Математическое ожидание (или среднее значение) числа успехов в серии из $n$ испытаний вычисляется по формуле: $E_{успехов} = n \cdot p$.
Математическое ожидание числа неудач в серии из $n$ испытаний вычисляется по формуле: $E_{неудач} = n \cdot q = n \cdot (1 - p)$.

Теперь последовательно проанализируем каждое утверждение.

а) чем больше вероятность успеха, тем больше математическое ожидание числа неудач;

Вероятность успеха обозначена как $p$. Математическое ожидание числа неудач равно $E_{неудач} = n \cdot (1 - p)$. Проанализируем, как изменяется $E_{неудач}$ при увеличении $p$. Если вероятность успеха $p$ увеличивается (стремится к 1), то множитель $(1 - p)$ уменьшается (стремится к 0). Следовательно, и всё произведение $n \cdot (1 - p)$ также будет уменьшаться (при условии, что число испытаний $n$ постоянно и положительно). Таким образом, чем больше вероятность успеха, тем меньше математическое ожидание числа неудач. Данное утверждение является неверным.
Ответ: Утверждение неверно.

б) чем больше вероятность успеха, тем меньше математическое ожидание числа неудач;

Используем ту же формулу для математического ожидания числа неудач: $E_{неудач} = n \cdot (1 - p)$. Как было установлено при анализе предыдущего пункта, при увеличении вероятности успеха $p$, значение разности $(1 - p)$ уменьшается. Это, в свою очередь, приводит к уменьшению значения $E_{неудач}$. Следовательно, данное утверждение полностью соответствует математической зависимости и является верным.
Ответ: Утверждение верно.

в) среднее число успехов зависит только от числа экспериментов и не связано с вероятностью успеха.

Среднее число успехов — это другое название для математического ожидания числа успехов. Оно вычисляется по формуле $E_{успехов} = n \cdot p$. Из этой формулы ясно видно, что среднее число успехов является произведением двух величин: числа экспериментов $n$ и вероятности успеха $p$. Это означает, что среднее число успехов напрямую зависит от обеих этих величин. Утверждение, что оно зависит только от числа экспериментов и не связано с вероятностью успеха, является ложным.
Ответ: Утверждение неверно.