Номер 2, страница 91, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

2 Что такое стандартное отклонение случайной величины? Запишите формулу стандартного отклонения.

Стандартное отклонение (также известное как среднеквадратическое отклонение, СКО) — это наиболее распространенный показатель рассеивания или разброса значений случайной величины относительно её математического ожидания (среднего значения). Оно показывает, насколько в среднем значения в наборе данных отличаются от их среднего. Малое значение стандартного отклонения указывает на то, что значения случайной величины сконцентрированы близко к среднему. Большое значение, наоборот, свидетельствует о сильном разбросе значений. Преимущество стандартного отклонения перед дисперсией заключается в том, что оно измеряется в тех же единицах, что и сама случайная величина, что делает его более интуитивно понятным.

Стандартное отклонение является квадратным корнем из дисперсии. Дисперсия ($Var(X)$ или $\sigma^2$) — это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания.

Формулу стандартного отклонения, обозначаемого греческой буквой сигма ($\sigma$), можно записать следующим образом. Для случайной величины $X$ с математическим ожиданием $\mu = E[X]$, общая формула:

$\sigma = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{E\left[(X - \mu)^2\right]}$

В зависимости от типа случайной величины, эта формула конкретизируется.

Для дискретной случайной величины, которая может принимать значения $x_1, x_2, \dots, x_n$ с соответствующими вероятностями $p_1, p_2, \dots, p_n$, формула выглядит так:

$\sigma = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2 p_i}$, где математическое ожидание $\mu = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i$.

Для непрерывной случайной величины с функцией плотности вероятности $f(x)$, формула такова:

$\sigma = \sqrt{\int_{-\infty}^{\infty} (x - \mu)^2 f(x) dx}$, где математическое ожидание $\mu = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx$.

В статистике, при анализе данных, чаще всего вычисляют выборочное стандартное отклонение ($s$), которое является оценкой истинного стандартного отклонения для генеральной совокупности. Для выборки $x_1, x_2, \dots, x_N$ его формула:

$s = \sqrt{\frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^{N} (x_i - \bar{x})^2}$

Здесь $\bar{x}$ — это выборочное среднее (среднее арифметическое), а в знаменателе используется $N-1$ (число степеней свободы) для получения несмещённой оценки дисперсии генеральной совокупности.

Ответ: Стандартное отклонение — это мера разброса значений случайной величины относительно её математического ожидания, равная квадратному корню из дисперсии. Основная формула для случайной величины $X$: $\sigma = \sqrt{E[(X - E[X])^2]}$.