Номер 1, страница 91, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

1 Сформулируйте определение дисперсии случайной величины и запишите формулу для дисперсии.

1

Определение: Дисперсией случайной величины $X$ называется математическое ожидание квадрата отклонения этой случайной величины от её математического ожидания. Дисперсия является числовой характеристикой, которая показывает, насколько значения случайной величины рассеяны относительно её среднего значения. Чем больше дисперсия, тем больше разброс. Обозначается как $D(X)$ или $Var(X)$.

Формулы для вычисления дисперсии:

Основная формула, которая следует непосредственно из определения:
$D(X) = M[(X - M(X))^2]$
Здесь $M(X)$ — это математическое ожидание случайной величины $X$.

Эта общая формула конкретизируется в зависимости от типа случайной величины:
- Для дискретной случайной величины, которая принимает значения $x_1, x_2, ..., x_n$ с вероятностями $p_1, p_2, ..., p_n$:
$D(X) = \sum_{i=1}^{n} (x_i - M(X))^2 p_i$
- Для непрерывной случайной величины с плотностью распределения вероятностей $f(x)$:
$D(X) = \int_{-\infty}^{\infty} (x - M(X))^2 f(x) dx$

Для практических расчетов часто используют более удобную формулу, которая выводится из основной. Она связывает дисперсию с математическим ожиданием самой случайной величины и её квадрата:
$D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$
Эта формула утверждает, что дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины ($M(X^2)$) и квадратом её математического ожидания ($[M(X)]^2$).

Ответ: Дисперсия случайной величины — это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания. Основные формулы для её нахождения:
1) По определению: $D(X) = M[(X - M(X))^2]$.
2) Расчетная формула: $D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$.