Номер 3, страница 93, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

3 Запишите формулы для математического ожидания и дисперсии случайных величин «число успехов» и «частота успеха» в серии из n испытаний Бернулли с вероятностью успеха p.

Число успехов

Математическое ожидание: $E(X) = np$

Дисперсия: $D(X) = np(1-p)$

Частота успеха

Математическое ожидание: $E(\frac{X}{n}) = p$

Дисперсия: $D(\frac{X}{n}) = \frac{p(1-p)}{n}$

Рассмотрим серию из $n$ независимых испытаний Бернулли, в каждом из которых вероятность успеха равна $p$, а вероятность неудачи — $q = 1-p$.

«число успехов»

Пусть $X$ — случайная величина, равная числу успехов в серии из $n$ испытаний. Эта величина имеет биномиальное распределение $X \sim B(n, p)$.

Математическое ожидание (среднее ожидаемое число успехов) для биномиального распределения вычисляется по формуле:

$M[X] = np$

Дисперсия (мера разброса значений случайной величины относительно её математического ожидания) для биномиального распределения вычисляется по формуле:

$D[X] = np(1-p) = npq$

Ответ: Математическое ожидание: $M[X] = np$; дисперсия: $D[X] = np(1-p)$.

«частота успеха»

Пусть $W$ — случайная величина, равная частоте успеха. Она определяется как отношение числа успехов $X$ к общему числу испытаний $n$:

$W = \frac{X}{n}$

Математическое ожидание частоты успеха находится с использованием свойств математического ожидания, в частности $M[c \cdot X] = c \cdot M[X]$, где $c$ — константа:

$M[W] = M\left[\frac{X}{n}\right] = \frac{1}{n}M[X] = \frac{1}{n}(np) = p$

Дисперсия частоты успеха находится с использованием свойств дисперсии, в частности $D[c \cdot X] = c^2 \cdot D[X]$, где $c$ — константа:

$D[W] = D\left[\frac{X}{n}\right] = \left(\frac{1}{n}\right)^2 D[X] = \frac{1}{n^2}(np(1-p)) = \frac{p(1-p)}{n} = \frac{pq}{n}$

Ответ: Математическое ожидание: $M[W] = p$; дисперсия: $D[W] = \frac{p(1-p)}{n}$.