Номер 273, страница 94, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

273 Известно, что 40% жителей города считают, что центральный парк нуждается в реконструкции. Для исследования общественного мнения по этому вопросу добровольцы опросили на улицах 1800 случайных горожан. Найдите математическое ожидание и стандартное отклонение частоты ответа «да» на вопрос «Нужна ли реконструкция в центральном парке?».

Математическое ожидание частоты ответа «да»
Пусть $p$ — это вероятность того, что случайно выбранный житель города считает, что центральный парк нуждается в реконструкции. Согласно условию задачи, эта вероятность составляет 40%, то есть $p = 0.4$.
Размер выборки, то есть количество опрошенных горожан, составляет $n = 1800$.
Частота ответа «да» в выборке (также называемая выборочной долей, $\hat{p}$) — это отношение числа положительных ответов к общему числу опрошенных. Математическое ожидание выборочной доли $E(\hat{p})$ равно вероятности $p$ в генеральной совокупности.
Формула для математического ожидания частоты:
$E(\hat{p}) = p$
Подставляя известное значение $p$, получаем:
$E(\hat{p}) = 0.4$
Ответ: 0.4

Стандартное отклонение частоты ответа «да»
Стандартное отклонение частоты (выборочной доли) $\hat{p}$, также известное как стандартная ошибка доли, вычисляется по формуле:
$\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$
Подставим в формулу известные значения $p=0.4$ и $n=1800$:
$\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{0.4 \cdot (1 - 0.4)}{1800}} = \sqrt{\frac{0.4 \cdot 0.6}{1800}} = \sqrt{\frac{0.24}{1800}}$
Упростим выражение под корнем:
$\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{24}{180000}} = \sqrt{\frac{1}{7500}}$
Теперь извлечем корень. Разложим $7500$ на множители: $7500 = 2500 \cdot 3$.
$\sigma_{\hat{p}} = \frac{1}{\sqrt{7500}} = \frac{1}{\sqrt{2500 \cdot 3}} = \frac{1}{50\sqrt{3}}$
Для получения ответа в стандартном виде избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:
$\sigma_{\hat{p}} = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{50\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{50 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{150}$
Это точный ответ. Можно также найти его приближенное значение:
$\sigma_{\hat{p}} = \frac{\sqrt{3}}{150} \approx \frac{1.732}{150} \approx 0.0115$
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{150}$ (приблизительно 0.0115)