Номер 274, страница 94, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

274 Производится серия выстрелов по мишени. Вероятность попадания при каждом отдельном выстреле равна 0,3. Подсчитывается частота попаданий $F$. Найдите математическое ожидание и стандартное отклонение величины $F$, если всего произведено:

a) 10 выстрелов;

б) 1000 выстрелов.

Во сколько раз стандартное отклонение во второй серии меньше, чем в первой?

Пусть $p$ — вероятность попадания при одном выстреле (успех), а $q$ — вероятность промаха (неудача). По условию задачи, $p = 0.3$. Следовательно, $q = 1 - p = 1 - 0.3 = 0.7$.

Частота попаданий $F$ в серии из $n$ выстрелов определяется как отношение числа попаданий $X$ к общему числу выстрелов: $F = \frac{X}{n}$. Случайная величина $X$, представляющая собой число попаданий в серии из $n$ независимых испытаний, подчиняется биномиальному распределению.

Математическое ожидание частоты $F$ равно вероятности успеха $p$ в одном испытании. Это свойство не зависит от количества испытаний $n$. $E[F] = E[\frac{X}{n}] = \frac{1}{n} E[X] = \frac{np}{n} = p$.

Дисперсия частоты $F$ вычисляется как $D[F] = D[\frac{X}{n}] = \frac{1}{n^2}D[X] = \frac{npq}{n^2} = \frac{pq}{n}$. Стандартное отклонение $\sigma[F]$ является квадратным корнем из дисперсии: $\sigma[F] = \sqrt{D[F]} = \sqrt{\frac{pq}{n}}$.

В этом случае общее число выстрелов $n_1 = 10$.

Математическое ожидание частоты попаданий: $E[F_1] = p = 0.3$.

Стандартное отклонение частоты попаданий: $\sigma[F_1] = \sqrt{\frac{pq}{n_1}} = \sqrt{\frac{0.3 \times 0.7}{10}} = \sqrt{\frac{0.21}{10}} = \sqrt{0.021} \approx 0.145$.

Ответ: математическое ожидание равно 0,3; стандартное отклонение $\approx 0.145$.

В этом случае общее число выстрелов $n_2 = 1000$.

Математическое ожидание частоты попаданий, как и в предыдущем случае, равно $p$: $E[F_2] = p = 0.3$.

Стандартное отклонение частоты попаданий: $\sigma[F_2] = \sqrt{\frac{pq}{n_2}} = \sqrt{\frac{0.3 \times 0.7}{1000}} = \sqrt{\frac{0.21}{1000}} = \sqrt{0.00021} \approx 0.0145$.

Ответ: математическое ожидание равно 0,3; стандартное отклонение $\approx 0.0145$.

Чтобы определить, во сколько раз стандартное отклонение во второй серии меньше, чем в первой, необходимо найти их отношение:

$\frac{\sigma[F_1]}{\sigma[F_2]} = \frac{\sqrt{pq/n_1}}{\sqrt{pq/n_2}} = \sqrt{\frac{pq}{n_1} \times \frac{n_2}{pq}} = \sqrt{\frac{n_2}{n_1}} = \sqrt{\frac{1000}{10}} = \sqrt{100} = 10$.

Ответ: стандартное отклонение во второй серии в 10 раз меньше, чем в первой.