Номер 275, страница 94, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

275 В условии задачи 274 в первой серии выстрелов оказалось 5 попаданий, а во второй — 286 попаданий.

а) Найдите отклонение частоты от своего математического ожидания в первой серии. Что больше: истинное отклонение частоты или стандартное отклонение частоты?

б) Ответьте на эти же вопросы для второй серии.

Для решения данной задачи необходимо использовать условия из задачи 274, на которую ссылается условие. В задаче 274 указано, что вероятность попадания в мишень при одном выстреле $p = 0.7$, а также даны параметры двух серий выстрелов: в первой серии $n_1 = 10$ выстрелов, а во второй $n_2 = 500$ выстрелов.

а)

Рассмотрим первую серию выстрелов. По условию, в ней было произведено $n_1 = 10$ выстрелов и зафиксировано $k_1 = 5$ попаданий.

1. Частота попаданий (или относительная частота) $W_1$ – это отношение числа попаданий к общему числу выстрелов:

$W_1 = \frac{k_1}{n_1} = \frac{5}{10} = 0.5$

2. Математическое ожидание частоты $M(W_1)$ в испытаниях Бернулли равно вероятности успеха в одном испытании, то есть вероятности попадания $p$:

$M(W_1) = p = 0.7$

3. Отклонение частоты от своего математического ожидания (его также называют истинным или фактическим отклонением) – это модуль разности между наблюдаемой частотой и ее математическим ожиданием:

$|W_1 - M(W_1)| = |0.5 - 0.7| = |-0.2| = 0.2$

4. Стандартное отклонение частоты $\sigma(W_1)$ (также называемое средним квадратическим отклонением) характеризует ожидаемую меру разброса частоты вокруг ее математического ожидания. Оно вычисляется как корень из дисперсии. Дисперсия частоты $D(W_1)$ находится по формуле:

$D(W_1) = \frac{p \cdot q}{n_1}$ , где $q = 1 - p = 1 - 0.7 = 0.3$.

$D(W_1) = \frac{0.7 \cdot 0.3}{10} = \frac{0.21}{10} = 0.021$

Тогда стандартное отклонение равно:

$\sigma(W_1) = \sqrt{D(W_1)} = \sqrt{0.021} \approx 0.1449$

5. Сравнение. Сравним истинное отклонение ($0.2$) и стандартное отклонение ($\approx 0.1449$):

$0.2 > 0.1449$

Таким образом, в первой серии истинное отклонение частоты оказалось больше, чем стандартное отклонение.

Ответ: отклонение частоты от своего математического ожидания равно 0.2. Истинное отклонение частоты (0.2) больше, чем стандартное отклонение частоты ($\approx 0.1449$).

б)

Рассмотрим вторую серию выстрелов. В ней было произведено $n_2 = 500$ выстрелов и зафиксировано $k_2 = 286$ попаданий.

1. Частота попаданий во второй серии:

$W_2 = \frac{k_2}{n_2} = \frac{286}{500} = 0.572$

2. Математическое ожидание частоты, как и ранее, равно $p$:

$M(W_2) = p = 0.7$

3. Отклонение частоты от своего математического ожидания для второй серии:

$|W_2 - M(W_2)| = |0.572 - 0.7| = |-0.128| = 0.128$

4. Стандартное отклонение частоты для второй серии. Дисперсия:

$D(W_2) = \frac{p \cdot q}{n_2} = \frac{0.7 \cdot 0.3}{500} = \frac{0.21}{500} = 0.00042$

Стандартное отклонение:

$\sigma(W_2) = \sqrt{D(W_2)} = \sqrt{0.00042} \approx 0.02049$

5. Сравнение. Сравним истинное отклонение ($0.128$) и стандартное отклонение ($\approx 0.02049$):

$0.128 > 0.02049$

Во второй серии истинное отклонение частоты также оказалось больше, чем стандартное отклонение.

Ответ: отклонение частоты от своего математического ожидания равно 0.128. Истинное отклонение частоты (0.128) больше, чем стандартное отклонение частоты ($\approx 0.02049$).