Номер 5, страница 93, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

5 Число испытаний n увеличивается. Как себя ведёт при этом:

а) математическое ожидание числа успехов;

б) математическое ожидание числа неудач;

в) дисперсия числа успехов;

г) математическое ожидание частоты успеха;

д) стандартное отклонение частоты успеха?

В основе решения лежит модель испытаний Бернулли. Пусть $n$ — число независимых испытаний, $p$ — вероятность «успеха» в одном испытании ($0 < p < 1$), а $q=1-p$ — вероятность «неудачи». Число успехов $X$ в $n$ испытаниях является случайной величиной, имеющей биномиальное распределение.

а) математическое ожидание числа успехов;

Математическое ожидание (среднее значение) числа успехов $X$ для биномиального распределения определяется формулой: $E[X] = np$. Поскольку вероятность успеха $p$ является постоянной величиной, а число испытаний $n$ увеличивается, то произведение $np$ также увеличивается. Рост является линейным по $n$.

Ответ: увеличивается.

б) математическое ожидание числа неудач;

Число неудач в $n$ испытаниях равно $n - X$. Математическое ожидание числа неудач равно: $E[n - X] = E[n] - E[X] = n - np = n(1-p) = nq$. Поскольку вероятность неудачи $q$ является постоянной величиной, а число испытаний $n$ увеличивается, то произведение $nq$ также увеличивается линейно с ростом $n$.

Ответ: увеличивается.

в) дисперсия числа успехов;

Дисперсия, которая характеризует разброс значений случайной величины вокруг ее математического ожидания, для числа успехов $X$ в биномиальном распределении вычисляется по формуле: $Var(X) = npq$. Так как $p$ и $q$ — константы, а $n$ увеличивается, то дисперсия $npq$ также увеличивается прямо пропорционально $n$.

Ответ: увеличивается.

г) математическое ожидание частоты успеха;

Частота успеха (или выборочная доля) — это отношение числа успехов к общему числу испытаний, то есть случайная величина $\frac{X}{n}$. Найдем ее математическое ожидание, используя свойства математического ожидания: $E\left[\frac{X}{n}\right] = \frac{1}{n} E[X]$. Подставив известное значение $E[X] = np$, получим: $E\left[\frac{X}{n}\right] = \frac{1}{n} (np) = p$. Математическое ожидание частоты успеха равно вероятности успеха $p$, которая является константой. Следовательно, эта величина не изменяется с увеличением числа испытаний $n$.

Ответ: не изменяется.

д) стандартное отклонение частоты успеха?

Стандартное (среднеквадратическое) отклонение является мерой разброса и равно квадратному корню из дисперсии. Сначала найдем дисперсию частоты успеха, используя свойства дисперсии: $Var\left(\frac{X}{n}\right) = \frac{1}{n^2} Var(X)$. Подставив известное значение $Var(X) = npq$, получим: $Var\left(\frac{X}{n}\right) = \frac{1}{n^2} (npq) = \frac{pq}{n}$. Тогда стандартное отклонение частоты успеха равно: $\sigma\left(\frac{X}{n}\right) = \sqrt{Var\left(\frac{X}{n}\right)} = \sqrt{\frac{pq}{n}}$. Поскольку $p$ и $q$ — константы, с увеличением $n$ знаменатель дроби растет, а вся дробь $\frac{pq}{n}$ уменьшается, стремясь к нулю. Соответственно, и ее квадратный корень уменьшается. Это отражает закон больших чисел: с ростом числа испытаний частота успеха становится все более надежной оценкой истинной вероятности $p$.

Ответ: уменьшается.