Номер 4, страница 93, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

4 Проводятся две серии испытаний Бернулли длины $n$. Вероятность успеха в первой серии равна $0.2$, а во второй вероятность успеха равна $0.8$. Не производя вычислений, сравните:

а) математические ожидания числа успехов в первой серии и во второй серии;

б) дисперсии числа успехов в первой серии и во второй серии.

а) математические ожидания числа успехов в первой серии и во второй серии;

Пусть $X_1$ — случайная величина, равная числу успехов в первой серии испытаний, а $X_2$ — во второй. Обе величины распределены по биномиальному закону с параметрами $(n, p)$, где $n$ — число испытаний, а $p$ — вероятность успеха в одном испытании.

Математическое ожидание для биномиального распределения находится по формуле $E[X] = np$.

Для первой серии вероятность успеха $p_1 = 0,2$. Математическое ожидание равно: $E[X_1] = n \cdot p_1 = n \cdot 0,2 = 0,2n$.

Для второй серии вероятность успеха $p_2 = 0,8$. Математическое ожидание равно: $E[X_2] = n \cdot p_2 = n \cdot 0,8 = 0,8n$.

Сравниваем полученные значения. Поскольку $0,2 < 0,8$ и $n$ — положительное число, то $0,2n < 0,8n$. Следовательно, $E[X_1] < E[X_2]$. Интуитивно это означает, что при большей вероятности успеха мы ожидаем в среднем большее количество успехов.

Ответ: Математическое ожидание числа успехов во второй серии больше, чем в первой.

б) дисперсии числа успехов в первой серии и во второй серии.

Дисперсия для биномиального распределения находится по формуле $Var(X) = np(1-p)$. Дисперсия характеризует меру разброса случайной величины относительно её математического ожидания.

Для первой серии с $p_1 = 0,2$ дисперсия равна: $Var(X_1) = n \cdot p_1 \cdot (1 - p_1) = n \cdot 0,2 \cdot (1 - 0,2) = n \cdot 0,2 \cdot 0,8 = 0,16n$.

Для второй серии с $p_2 = 0,8$ дисперсия равна: $Var(X_2) = n \cdot p_2 \cdot (1 - p_2) = n \cdot 0,8 \cdot (1 - 0,8) = n \cdot 0,8 \cdot 0,2 = 0,16n$.

Сравнивая полученные выражения для дисперсий, видим, что $Var(X_1) = Var(X_2)$. Равенство дисперсий объясняется тем, что произведение $p(1-p)$ одинаково для $p=0,2$ и $p=0,8$. Это связано с тем, что функция $f(p)=p(1-p)$ симметрична относительно точки $p=0,5$, в которой она достигает своего максимума. Значения $p_1=0,2$ и $p_2=0,8$ равноудалены от этой точки ($0,5 - 0,2 = 0,3$ и $0,8 - 0,5 = 0,3$), поэтому значения функции $f(p)$ для них совпадают.

Ответ: Дисперсии числа успехов в первой и во второй сериях равны.