Номер 272, страница 94, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

272 Игральную кость бросили 13 500 раз. Рассмотрим случайную величину $X$, равную числу бросков, при которых:

a) выпавшее число очков кратно 3;

б) выпала пятёрка.

Найдите $DX$.

В данной задаче мы имеем дело с серией из $n=13500$ независимых испытаний (бросков игральной кости). Случайная величина X, равная числу "успешных" бросков, подчиняется биномиальному распределению. Дисперсия $DX$ для биномиально распределенной случайной величины вычисляется по формуле:

$DX = n \cdot p \cdot q$

где $n$ — общее число испытаний, $p$ — вероятность "успеха" в одном испытании, а $q$ — вероятность "неудачи", равная $1 - p$.

а) выпавшее число очков кратно 3;

При броске стандартной игральной кости возможны 6 исходов: {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
"Успехом" считается выпадение числа, кратного 3. Такими числами являются 3 и 6. Всего 2 благоприятных исхода.
Вероятность успеха $p$ в одном броске равна:
$p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
Вероятность неудачи $q$ равна:
$q = 1 - p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
Теперь можем найти дисперсию $DX$, зная, что число бросков $n = 13500$:
$DX = n \cdot p \cdot q = 13500 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{13500 \cdot 2}{9} = \frac{27000}{9} = 3000$

Ответ: $3000$.

б) выпала пятёрка.

В этом случае "успехом" считается выпадение пятёрки. Существует только 1 благоприятный исход из 6 возможных.
Вероятность успеха $p$ в одном броске равна:
$p = \frac{1}{6}$
Вероятность неудачи $q$ равна:
$q = 1 - p = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$
Найдем дисперсию $DX$ для $n = 13500$:
$DX = n \cdot p \cdot q = 13500 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{13500 \cdot 5}{36} = \frac{67500}{36} = 1875$

Ответ: $1875$.