Номер 3, страница 98, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

3 Нужно ли знать общую численность всех жителей России, чтобы с помощью выборочного метода установить, какая доля жителей предпочитает по утрам чай, а какая — кофе?

Нет, для того чтобы с помощью выборочного метода установить долю жителей, предпочитающих чай или кофе, знать общую численность всех жителей России необязательно. Это связано с ключевыми принципами математической статистики, применяемыми к большим (практически бесконечным) генеральным совокупностям.

Суть выборочного метода заключается в том, что выводы обо всей интересующей нас группе (генеральной совокупности, в данном случае — всех жителях России) делаются на основе изучения её небольшой, но правильно составленной, репрезентативной части — выборки. Точность оценки, которую мы получим (например, доля любителей чая), зависит в первую очередь от абсолютного размера выборки ($n$), а не от её размера относительно всей генеральной совокупности ($N$).

Формула для расчета доверительного интервала (или погрешности) для доли в генеральной совокупности выглядит следующим образом:

$E = z \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$

где $E$ — предельная ошибка выборки, $z$ — z-оценка, зависящая от выбранного уровня доверия (например, $z \approx 1.96$ для 95% доверия), $\hat{p}$ — доля признака в выборке (например, доля пьющих чай), а $n$ — объем (размер) выборки. Как видно из формулы, общая численность населения $N$ в ней не фигурирует.

Существует специальная поправка на конечный размер генеральной совокупности (Finite Population Correction, FPC), которая применяется, когда выборка составляет значительную часть совокупности (как правило, более 5%, то есть когда $n/N > 0.05$). С учетом этой поправки формула выглядит так:

$E = z \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \cdot \sqrt{\frac{N-n}{N-1}}$

Однако население России ($N$) — это очень большая величина (более 140 миллионов человек). Любой реалистичный размер выборки для социологического опроса ($n$), например, 1600 или 2500 человек, будет составлять ничтожно малую долю от $N$. В этом случае поправочный множитель $\sqrt{\frac{N-n}{N-1}}$ будет настолько близок к 1, что его влиянием можно полностью пренебречь. Например, если $N = 145\,000\,000$ и $n = 2000$, то поправочный коэффициент будет равен $\sqrt{\frac{145\,000\,000 - 2000}{145\,000\,000 - 1}} \approx 0.999993$.

Таким образом, для получения статистически надежного результата гораздо важнее обеспечить репрезентативность выборки (чтобы она адекватно отражала структуру всего населения по ключевым признакам, таким как пол, возраст, география и т.д.) и достаточный абсолютный размер этой выборки, а не знать точное число всех жителей страны.

Ответ: Нет, знать общую численность всех жителей России для проведения такого исследования не нужно. При оценке долей в очень больших совокупностях точность результата зависит от абсолютного размера выборки, а не от общей численности населения.