Номер 1, страница 98, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

1 Приведите примеры проявления закона больших чисел.

Закон больших чисел — это фундаментальный принцип теории вероятностей, который утверждает, что среднее значение результатов, полученных в ходе большого количества независимых испытаний, будет стремиться к теоретическому среднему значению (математическому ожиданию). Иными словами, чем больше раз повторяется случайный эксперимент, тем ближе фактическая частота события к его теоретической вероятности.

Математически, если $X_1, X_2, ..., X_n$ — это последовательность независимых, одинаково распределенных случайных величин с конечным математическим ожиданием $E[X]$, то их среднее арифметическое $\bar{X}_n = \frac{X_1 + X_2 + ... + X_n}{n}$ сходится к $E[X]$ при $n \to \infty$.

Это классический пример. Теоретическая вероятность выпадения «орла» для симметричной монеты равна $p = 0.5$. Если подбросить монету всего 10 раз, результат может быть далек от этого значения — например, 3 «орла» (частота 0.3) или 7 «орлов» (частота 0.7). Однако, если провести серию из 10 000 подбрасываний, количество «орлов», скорее всего, будет очень близко к 5000, и относительная частота $\frac{\text{число орлов}}{10000}$ будет стремиться к 0.5. Таким образом, при большом числе испытаний случайные отклонения в ту или иную сторону компенсируют друг друга, и средний результат стабилизируется.

Ответ: При многократном подбрасывании монеты частота выпадения «орла» приближается к его теоретической вероятности, равной 0.5.

Страховые компании строят свою деятельность на законе больших чисел. Невозможно предсказать, попадет ли конкретный водитель в аварию в следующем году. Однако, имея статистику по миллионам водителей, компания может с высокой точностью оценить вероятность наступления страхового случая (например, 0.05 или 5% для определенной группы клиентов). На основе этой вероятности рассчитывается ожидаемый размер выплат на одного клиента. Когда компания страхует огромное количество людей (сотни тысяч или миллионы), фактическое количество страховых случаев и общая сумма выплат оказываются очень близки к прогнозируемым. Это позволяет устанавливать страховые премии, которые покрывают расходы и приносят прибыль.

Ответ: Страховая компания использует статистику по большой группе клиентов, чтобы точно предсказать среднее количество страховых случаев и рассчитать рентабельные тарифы.

Казино зарабатывают благодаря закону больших чисел. Каждая игра (рулетка, блэкджек, игровые автоматы) спроектирована так, чтобы у казино было небольшое математическое преимущество. Например, в европейской рулетке 37 ячеек (1-36 и 0). Ставка на конкретное число в случае выигрыша оплачивается в размере 35 к 1. Математическое ожидание выигрыша для игрока при ставке в $1 доллар составляет: $E(X) = 35 \times \frac{1}{37} + (-1) \times \frac{36}{37} = -\frac{1}{37} \approx -0.027$. Это означает, что в среднем казино зарабатывает 2.7 цента с каждого поставленного доллара. Для одного игрока за один вечер результат случаен — он может как выиграть, так и проиграть. Но за день через казино проходят тысячи игроков, делающие миллионы ставок. Закон больших чисел гарантирует, что фактическая прибыль казино будет очень близка к этим теоретическим 2.7% от общего оборота.

Ответ: Долгосрочная прибыль казино обеспечивается не удачей, а небольшим математическим преимуществом в каждой игре, которое реализуется на огромном количестве ставок от всех игроков.

Проверить каждую единицу продукции (например, каждую лампочку или микросхему) на долговечность или брак часто невозможно или экономически нецелесообразно. Вместо этого производители используют статистический контроль качества. Из большой партии продукции случайным образом отбирается выборка (например, 1000 единиц). В этой выборке подсчитывается доля бракованных изделий. Согласно закону больших чисел, если выборка достаточно велика и случайна, то доля брака в ней будет являться надежной оценкой доли брака во всей партии. Это позволяет принять решение: принять партию, отправить на доработку или забраковать.

Ответ: Проверяя большую случайную выборку, производитель с высокой точностью оценивает процент брака во всей партии продукции.

Чтобы узнать мнение населения большой страны (например, электоральный рейтинг кандидата), не обязательно опрашивать всех граждан. Исследовательские центры формируют репрезентативную (случайную) выборку из нескольких тысяч человек. Закон больших чисел утверждает, что доля людей в этой выборке, придерживающихся определенного мнения, будет близка к истинной доле таких людей во всей популяции. Чем больше размер выборки, тем меньше «погрешность», то есть отклонение результата опроса от реального положения дел.

Ответ: Результаты опроса большой случайной выборки людей позволяют с высокой степенью достоверности судить о мнении всего населения.