Номер 2, страница 98, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

2 Как оценивают математическое ожидание случайной величины?

Математическое ожидание (или среднее значение) случайной величины $X$, обозначаемое как $E[X]$ или $\mu$, является одной из важнейших ее числовых характеристик. Она описывает центральное значение, вокруг которого распределены значения случайной величины.

На практике истинное значение $\mu$ генеральной совокупности (например, средний рост всех людей на планете) часто неизвестно. Для его определения пришлось бы измерить каждый объект совокупности, что невозможно. Поэтому математическое ожидание оценивают на основе данных, полученных из выборки – ограниченного набора наблюдений случайной величины $X_1, X_2, \dots, X_n$. Существует два основных вида оценок: точечная и интервальная.

В качестве точечной (одночисловой) оценки математического ожидания $E[X]$ используется выборочное среднее $\bar{X}$. Оно вычисляется как среднее арифметическое наблюдений в выборке:

$\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i = \frac{X_1 + X_2 + \dots + X_n}{n}$

где $X_i$ – это $i$-е наблюдение в выборке, а $n$ – объем выборки.

Выборочное среднее является предпочтительной оценкой, так как обладает важными статистическими свойствами:

• Несмещенность. Оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру. Для выборочного среднего это свойство выполняется: $E[\bar{X}] = \mu$. Это означает, что в среднем оценка не завышает и не занижает истинное значение, и при многократном повторении эксперимента среднее значение оценок будет стремиться к истинному среднему.
• Состоятельность. С увеличением объема выборки ($n \rightarrow \infty$) выборочное среднее сходится по вероятности к истинному математическому ожиданию. Это следует из закона больших чисел. Проще говоря, чем больше у нас данных, тем точнее наша оценка.
• Эффективность. Среди всех линейных несмещенных оценок выборочное среднее имеет наименьшую дисперсию, что делает его наиболее точной (устойчивой) оценкой в этом классе.

Точечная оценка дает лишь одно число, которое почти никогда не совпадает в точности с истинным значением $\mu$. Поэтому на практике чаще используют интервальную оценку, или доверительный интервал. Это диапазон значений, который с заданной высокой вероятностью (надежностью), например 95% или 99%, накрывает истинное значение параметра.

Формула для доверительного интервала зависит от того, известна ли дисперсия $\sigma^2$ генеральной совокупности.

1. Если дисперсия $\sigma^2$ известна (что бывает редко):

Доверительный интервал строится с использованием нормального распределения:

$\bar{X} \pm z_{1-\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

где $\bar{X}$ – выборочное среднее, $\sigma$ – известное стандартное отклонение, $n$ – объем выборки, а $z_{1-\alpha/2}$ – квантиль стандартного нормального распределения, соответствующий уровню доверия $1-\alpha$ (например, для 95% доверительного интервала $\alpha=0.05$, и $z_{0.975} \approx 1.96$).

2. Если дисперсия $\sigma^2$ неизвестна (наиболее частый случай):

Дисперсию приходится оценивать по той же выборке с помощью несмещенной выборочной дисперсии $s^2$:

$s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2$

В этом случае для построения интервала используется распределение Стьюдента (t-распределение):

$\bar{X} \pm t_{1-\alpha/2, n-1} \frac{s}{\sqrt{n}}$

где $s$ – выборочное стандартное отклонение (корень из $s^2$), а $t_{1-\alpha/2, n-1}$ – квантиль распределения Стьюдента с $n-1$ степенями свободы. При больших объемах выборки ($n > 30$) распределение Стьюдента становится очень близким к нормальному.

Ответ: Математическое ожидание случайной величины оценивают с помощью выборочного среднего $\bar{X}$, которое является его точечной оценкой. Для получения более полной информации о возможном расположении истинного значения строят доверительный интервал, который представляет собой диапазон значений, с высокой вероятностью содержащий истинное математическое ожидание.