Номер 4, страница 98, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

4 Как можно увеличить точность не очень точных измерений?

Точность измерений — это степень близости результата измерения к истинному значению измеряемой величины. Не очень точные измерения обычно содержат значительные случайные или систематические погрешности. Существует несколько основных способов увеличить точность таких измерений.

1. Метод многократных измерений и усреднения

Этот метод является основным способом борьбы со случайными погрешностями, которые возникают из-за множества неконтролируемых факторов (колебания воздуха, дрожание рук, ошибки при считывании показаний и т.д.). Суть метода заключается в следующем:

• Провести измерение одной и той же величины несколько раз (чем больше, тем лучше, обычно 3-10 раз).
• Вычислить среднее арифметическое всех полученных результатов. Это значение будет наиболее вероятным и близким к истинному.

Среднее арифметическое $x_{ср}$ для $n$ измерений ($x_1, x_2, ..., x_n$) вычисляется по формуле:

$x_{ср} = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i$

При усреднении случайные отклонения в большую и меньшую сторону частично компенсируют друг друга, и итоговый результат становится более точным.

Пример: При измерении длины стола рулеткой были получены значения: 120.2 см, 120.4 см, 120.1 см, 120.3 см. Среднее значение будет $(120.2 + 120.4 + 120.1 + 120.3) / 4 = 120.25$ см, что является более точной оценкой длины, чем любое из отдельных измерений.

Ответ: Для увеличения точности необходимо провести серию измерений и найти их среднее арифметическое, что позволяет уменьшить влияние случайных погрешностей.

2. Метод рядов (измерение нескольких одинаковых величин)

Этот метод особенно эффективен, когда нужно измерить очень малую величину, и погрешность одного измерения сопоставима с самой измеряемой величиной. Суть метода — измерить суммарную величину для большого количества ($N$) одинаковых объектов или процессов, а затем разделить результат на их количество.

• Пример 1: Определение толщины листа бумаги. Измерить толщину одного листа с помощью линейки практически невозможно с приемлемой точностью. Вместо этого можно измерить толщину стопки из 100 листов ($L$), а затем разделить полученное значение на 100. Толщина одного листа $l$ будет равна $l = L/100$. Погрешность измерения при этом также "делится" на 100, что значительно повышает точность результата.
• Пример 2: Определение периода колебаний маятника. Измерять время одного полного колебания ($T$) секундомером неточно из-за погрешности реакции человека при запуске и остановке. Гораздо точнее измерить общее время $t$ для $N=30-50$ полных колебаний и затем вычислить период по формуле $T = t/N$.

Ответ: Для повышения точности измерения малых величин следует измерить суммарное значение для большого их количества (ряда) и разделить результат на это количество.

3. Использование более точных измерительных приборов

Точность измерения напрямую зависит от точности прибора. Основная характеристика точности прибора — его класс точности или цена деления шкалы. Погрешность измерения, как правило, принимают равной половине цены деления прибора.

• Цена деления обычной школьной линейки — 1 мм. Погрешность — 0.5 мм.
• Цена деления штангенциркуля — 0.1 мм или 0.05 мм. Погрешность — 0.05 мм или 0.025 мм.
• Цена деления микрометра — 0.01 мм. Погрешность — 0.005 мм.

Таким образом, для измерения диаметра проволоки следует использовать микрометр, а не линейку. Выбор прибора, соответствующего требуемой точности, — ключевой шаг в проведении измерений.

Ответ: Следует выбирать измерительный прибор с наименьшей возможной ценой деления (и наименьшей инструментальной погрешностью), подходящий для данной задачи.

4. Учет и устранение систематических погрешностей

Систематические погрешности — это погрешности, которые остаются постоянными или закономерно изменяются при повторных измерениях. Они могут быть вызваны:

• Неисправностью или неточностью самого прибора (например, весы, которые всегда показывают на 10 г больше).
• Неправильной установкой прибора.
• Влиянием внешних условий (температура, давление, влажность).
• Ошибками наблюдателя (например, ошибка параллакса — считывание показаний под углом к шкале).

Способы борьбы с систематическими погрешностями:

• Калибровка и поверка приборов: Сравнение показаний прибора с эталонными значениями для внесения поправок.
• Контроль условий эксперимента: Поддержание постоянной температуры, влажности, исключение вибраций.
• Внесение поправок: Если величина систематической погрешности известна, ее можно вычесть из результата измерений.
• Правильная методика измерений: Например, для устранения ошибки параллакса нужно смотреть на шкалу прибора строго перпендикулярно.

Ответ: Для увеличения точности необходимо выявлять источники систематических погрешностей, устранять их путем калибровки приборов, контроля условий эксперимента и применения правильных методик измерений, а также вносить поправки в результаты, если величина погрешности известна.