Номер 276, страница 94, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

276 Проводится серия из $n$ испытаний Бернулли с вероятностью успеха $p$.

a) При каком $p$ дисперсия числа успехов наибольшая возможная?

б) Чему равно наибольшее возможное стандартное отклонение числа успехов?

Указание. Рассмотрите выражение для дисперсии $DS = npq$ как квадратный трёхчлен от $p: y = n(p - p^2)$.

а) При каком p дисперсия числа успехов наибольшая возможная?

Дисперсия $D$ числа успехов в серии из $n$ испытаний Бернулли с вероятностью успеха $p$ вычисляется по формуле $D = npq$, где $q$ — вероятность неудачи, и $q = 1 - p$. Таким образом, дисперсия является функцией от $p$: $D(p) = np(1 - p) = -np^2 + np$.

Чтобы найти, при каком значении $p$ дисперсия максимальна, мы можем рассмотреть эту функцию на отрезке $[0, 1]$. Выражение $D(p) = -np^2 + np$ представляет собой квадратичную функцию от $p$. График этой функции — парабола, ветви которой направлены вниз, поскольку коэффициент при $p^2$ (равный $-n$) отрицателен (так как число испытаний $n \ge 1$).

Максимальное значение такой функции достигается в вершине параболы. Координата вершины $p_{верш}$ для параболы $y = ap^2 + bp + c$ находится по формуле $p_{верш} = -\frac{b}{2a}$. В нашем случае, $a = -n$ и $b = n$.

Следовательно, значение $p$, при котором дисперсия максимальна, равно: $p = -\frac{n}{2(-n)} = \frac{n}{2n} = \frac{1}{2}$.

Это значение $p=0.5$ находится в допустимом диапазоне для вероятности $[0, 1]$. Таким образом, дисперсия числа успехов является наибольшей, когда вероятность успеха равна вероятности неудачи.

Ответ: $p=0.5$.

б) Чему равно наибольшее возможное стандартное отклонение числа успехов?

Стандартное отклонение $\sigma$ является квадратным корнем из дисперсии: $\sigma = \sqrt{D}$. Поскольку функция квадратного корня монотонно возрастает, наибольшее стандартное отклонение будет достигнуто при том же значении $p$, при котором достигается наибольшая дисперсия, то есть при $p = 0.5$.

Сначала найдем наибольшее возможное значение дисперсии $D_{max}$, подставив $p=0.5$ в формулу для дисперсии: $D_{max} = n \cdot p \cdot (1-p) = n \cdot 0.5 \cdot (1 - 0.5) = n \cdot 0.5 \cdot 0.5 = \frac{n}{4}$.

Теперь вычислим наибольшее возможное стандартное отклонение $\sigma_{max}$: $\sigma_{max} = \sqrt{D_{max}} = \sqrt{\frac{n}{4}} = \frac{\sqrt{n}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{n}}{2}$.