Страница 94, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник часть 1, 2 Высоцкий, Ященко

270 В тесте из 16 задач каждая задача имеет 4 варианта ответов, но только один ответ из четырёх верный. Миша не готов к тесту и выбирает ответы наугад. Найдите ожидаемое число правильных ответов, которые Миша угадает.

Для решения этой задачи необходимо найти математическое ожидание числа правильных ответов. Математическое ожидание — это среднее значение случайной величины, которое мы ожидаем получить при большом количестве повторений эксперимента.

Пусть $n$ — это общее количество задач в тесте. По условию, $n = 16$.

Для каждой задачи есть 4 варианта ответа, и только один из них верный. Поскольку Миша выбирает ответы наугад, вероятность угадать правильный ответ на одну любую задачу ($p$) равна:
$p = \frac{1}{4}$

Процесс ответов на вопросы можно рассматривать как серию из $n=16$ независимых испытаний (схема Бернулли), где "успехом" является правильный ответ на вопрос.

Математическое ожидание $E(X)$ для биномиального распределения (которое описывает число успехов в серии независимых испытаний) вычисляется по формуле:
$E(X) = n \cdot p$

Подставим в эту формулу наши значения:
$E(X) = 16 \cdot \frac{1}{4} = 4$

Таким образом, ожидаемое (среднее) число правильных ответов, которые Миша угадает, составляет 4.

Ответ: 4

271 По полу рассыпали содержимое коробки, в которой было 100 канцелярских кнопок. Кнопка падает остриём вверх с вероятностью 0,36. Найдите дисперсию и стандартное отклонение величины «число кнопок, упавших остриём вверх».

Данная задача описывает серию из 100 независимых испытаний (падение каждой канцелярской кнопки). Каждое испытание имеет два исхода: «кнопка упала остриём вверх» (успех) и «кнопка не упала остриём вверх» (неудача). Вероятность успеха для каждого испытания постоянна. Такая модель соответствует биномиальному распределению.

Обозначим случайную величину «число кнопок, упавших остриём вверх» как $X$.

Параметры распределения:

• число испытаний $n = 100$;
• вероятность успеха в одном испытании $p = 0,36$;
• вероятность неудачи в одном испытании $q = 1 - p = 1 - 0,36 = 0,64$.

Дисперсия

Дисперсия случайной величины, имеющей биномиальное распределение, вычисляется по формуле:$D(X) = n \cdot p \cdot q$Подставим в формулу известные значения:$D(X) = 100 \cdot 0,36 \cdot 0,64 = 36 \cdot 0,64 = 23,04$

Ответ: 23,04.

Стандартное отклонение

Стандартное отклонение (или среднеквадратическое отклонение) $\sigma(X)$ является квадратным корнем из дисперсии:$\sigma(X) = \sqrt{D(X)}$Подставим найденное значение дисперсии:$\sigma(X) = \sqrt{23,04} = 4,8$

Ответ: 4,8.

272 Игральную кость бросили 13 500 раз. Рассмотрим случайную величину $X$, равную числу бросков, при которых:

a) выпавшее число очков кратно 3;

б) выпала пятёрка.

Найдите $DX$.

В данной задаче мы имеем дело с серией из $n=13500$ независимых испытаний (бросков игральной кости). Случайная величина X, равная числу "успешных" бросков, подчиняется биномиальному распределению. Дисперсия $DX$ для биномиально распределенной случайной величины вычисляется по формуле:

$DX = n \cdot p \cdot q$

где $n$ — общее число испытаний, $p$ — вероятность "успеха" в одном испытании, а $q$ — вероятность "неудачи", равная $1 - p$.

а) выпавшее число очков кратно 3;

При броске стандартной игральной кости возможны 6 исходов: {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
"Успехом" считается выпадение числа, кратного 3. Такими числами являются 3 и 6. Всего 2 благоприятных исхода.
Вероятность успеха $p$ в одном броске равна:
$p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
Вероятность неудачи $q$ равна:
$q = 1 - p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
Теперь можем найти дисперсию $DX$, зная, что число бросков $n = 13500$:
$DX = n \cdot p \cdot q = 13500 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{13500 \cdot 2}{9} = \frac{27000}{9} = 3000$

Ответ: $3000$.

б) выпала пятёрка.

В этом случае "успехом" считается выпадение пятёрки. Существует только 1 благоприятный исход из 6 возможных.
Вероятность успеха $p$ в одном броске равна:
$p = \frac{1}{6}$
Вероятность неудачи $q$ равна:
$q = 1 - p = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$
Найдем дисперсию $DX$ для $n = 13500$:
$DX = n \cdot p \cdot q = 13500 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{13500 \cdot 5}{36} = \frac{67500}{36} = 1875$

Ответ: $1875$.

273 Известно, что 40% жителей города считают, что центральный парк нуждается в реконструкции. Для исследования общественного мнения по этому вопросу добровольцы опросили на улицах 1800 случайных горожан. Найдите математическое ожидание и стандартное отклонение частоты ответа «да» на вопрос «Нужна ли реконструкция в центральном парке?».

Математическое ожидание частоты ответа «да»
Пусть $p$ — это вероятность того, что случайно выбранный житель города считает, что центральный парк нуждается в реконструкции. Согласно условию задачи, эта вероятность составляет 40%, то есть $p = 0.4$.
Размер выборки, то есть количество опрошенных горожан, составляет $n = 1800$.
Частота ответа «да» в выборке (также называемая выборочной долей, $\hat{p}$) — это отношение числа положительных ответов к общему числу опрошенных. Математическое ожидание выборочной доли $E(\hat{p})$ равно вероятности $p$ в генеральной совокупности.
Формула для математического ожидания частоты:
$E(\hat{p}) = p$
Подставляя известное значение $p$, получаем:
$E(\hat{p}) = 0.4$
Ответ: 0.4

Стандартное отклонение частоты ответа «да»
Стандартное отклонение частоты (выборочной доли) $\hat{p}$, также известное как стандартная ошибка доли, вычисляется по формуле:
$\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$
Подставим в формулу известные значения $p=0.4$ и $n=1800$:
$\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{0.4 \cdot (1 - 0.4)}{1800}} = \sqrt{\frac{0.4 \cdot 0.6}{1800}} = \sqrt{\frac{0.24}{1800}}$
Упростим выражение под корнем:
$\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{24}{180000}} = \sqrt{\frac{1}{7500}}$
Теперь извлечем корень. Разложим $7500$ на множители: $7500 = 2500 \cdot 3$.
$\sigma_{\hat{p}} = \frac{1}{\sqrt{7500}} = \frac{1}{\sqrt{2500 \cdot 3}} = \frac{1}{50\sqrt{3}}$
Для получения ответа в стандартном виде избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:
$\sigma_{\hat{p}} = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{50\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{50 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{150}$
Это точный ответ. Можно также найти его приближенное значение:
$\sigma_{\hat{p}} = \frac{\sqrt{3}}{150} \approx \frac{1.732}{150} \approx 0.0115$
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{150}$ (приблизительно 0.0115)

274 Производится серия выстрелов по мишени. Вероятность попадания при каждом отдельном выстреле равна 0,3. Подсчитывается частота попаданий $F$. Найдите математическое ожидание и стандартное отклонение величины $F$, если всего произведено:

a) 10 выстрелов;

б) 1000 выстрелов.

Во сколько раз стандартное отклонение во второй серии меньше, чем в первой?

Пусть $p$ — вероятность попадания при одном выстреле (успех), а $q$ — вероятность промаха (неудача). По условию задачи, $p = 0.3$. Следовательно, $q = 1 - p = 1 - 0.3 = 0.7$.

Частота попаданий $F$ в серии из $n$ выстрелов определяется как отношение числа попаданий $X$ к общему числу выстрелов: $F = \frac{X}{n}$. Случайная величина $X$, представляющая собой число попаданий в серии из $n$ независимых испытаний, подчиняется биномиальному распределению.

Математическое ожидание частоты $F$ равно вероятности успеха $p$ в одном испытании. Это свойство не зависит от количества испытаний $n$. $E[F] = E[\frac{X}{n}] = \frac{1}{n} E[X] = \frac{np}{n} = p$.

Дисперсия частоты $F$ вычисляется как $D[F] = D[\frac{X}{n}] = \frac{1}{n^2}D[X] = \frac{npq}{n^2} = \frac{pq}{n}$. Стандартное отклонение $\sigma[F]$ является квадратным корнем из дисперсии: $\sigma[F] = \sqrt{D[F]} = \sqrt{\frac{pq}{n}}$.

В этом случае общее число выстрелов $n_1 = 10$.

Математическое ожидание частоты попаданий: $E[F_1] = p = 0.3$.

Стандартное отклонение частоты попаданий: $\sigma[F_1] = \sqrt{\frac{pq}{n_1}} = \sqrt{\frac{0.3 \times 0.7}{10}} = \sqrt{\frac{0.21}{10}} = \sqrt{0.021} \approx 0.145$.

Ответ: математическое ожидание равно 0,3; стандартное отклонение $\approx 0.145$.

В этом случае общее число выстрелов $n_2 = 1000$.

Математическое ожидание частоты попаданий, как и в предыдущем случае, равно $p$: $E[F_2] = p = 0.3$.

Стандартное отклонение частоты попаданий: $\sigma[F_2] = \sqrt{\frac{pq}{n_2}} = \sqrt{\frac{0.3 \times 0.7}{1000}} = \sqrt{\frac{0.21}{1000}} = \sqrt{0.00021} \approx 0.0145$.

Ответ: математическое ожидание равно 0,3; стандартное отклонение $\approx 0.0145$.

Чтобы определить, во сколько раз стандартное отклонение во второй серии меньше, чем в первой, необходимо найти их отношение:

$\frac{\sigma[F_1]}{\sigma[F_2]} = \frac{\sqrt{pq/n_1}}{\sqrt{pq/n_2}} = \sqrt{\frac{pq}{n_1} \times \frac{n_2}{pq}} = \sqrt{\frac{n_2}{n_1}} = \sqrt{\frac{1000}{10}} = \sqrt{100} = 10$.

Ответ: стандартное отклонение во второй серии в 10 раз меньше, чем в первой.

275 В условии задачи 274 в первой серии выстрелов оказалось 5 попаданий, а во второй — 286 попаданий.

а) Найдите отклонение частоты от своего математического ожидания в первой серии. Что больше: истинное отклонение частоты или стандартное отклонение частоты?

б) Ответьте на эти же вопросы для второй серии.

Для решения данной задачи необходимо использовать условия из задачи 274, на которую ссылается условие. В задаче 274 указано, что вероятность попадания в мишень при одном выстреле $p = 0.7$, а также даны параметры двух серий выстрелов: в первой серии $n_1 = 10$ выстрелов, а во второй $n_2 = 500$ выстрелов.

а)

Рассмотрим первую серию выстрелов. По условию, в ней было произведено $n_1 = 10$ выстрелов и зафиксировано $k_1 = 5$ попаданий.

1. Частота попаданий (или относительная частота) $W_1$ – это отношение числа попаданий к общему числу выстрелов:

$W_1 = \frac{k_1}{n_1} = \frac{5}{10} = 0.5$

2. Математическое ожидание частоты $M(W_1)$ в испытаниях Бернулли равно вероятности успеха в одном испытании, то есть вероятности попадания $p$:

$M(W_1) = p = 0.7$

3. Отклонение частоты от своего математического ожидания (его также называют истинным или фактическим отклонением) – это модуль разности между наблюдаемой частотой и ее математическим ожиданием:

$|W_1 - M(W_1)| = |0.5 - 0.7| = |-0.2| = 0.2$

4. Стандартное отклонение частоты $\sigma(W_1)$ (также называемое средним квадратическим отклонением) характеризует ожидаемую меру разброса частоты вокруг ее математического ожидания. Оно вычисляется как корень из дисперсии. Дисперсия частоты $D(W_1)$ находится по формуле:

$D(W_1) = \frac{p \cdot q}{n_1}$ , где $q = 1 - p = 1 - 0.7 = 0.3$.

$D(W_1) = \frac{0.7 \cdot 0.3}{10} = \frac{0.21}{10} = 0.021$

Тогда стандартное отклонение равно:

$\sigma(W_1) = \sqrt{D(W_1)} = \sqrt{0.021} \approx 0.1449$

5. Сравнение. Сравним истинное отклонение ($0.2$) и стандартное отклонение ($\approx 0.1449$):

$0.2 > 0.1449$

Таким образом, в первой серии истинное отклонение частоты оказалось больше, чем стандартное отклонение.

Ответ: отклонение частоты от своего математического ожидания равно 0.2. Истинное отклонение частоты (0.2) больше, чем стандартное отклонение частоты ($\approx 0.1449$).

б)

Рассмотрим вторую серию выстрелов. В ней было произведено $n_2 = 500$ выстрелов и зафиксировано $k_2 = 286$ попаданий.

1. Частота попаданий во второй серии:

$W_2 = \frac{k_2}{n_2} = \frac{286}{500} = 0.572$

2. Математическое ожидание частоты, как и ранее, равно $p$:

$M(W_2) = p = 0.7$

3. Отклонение частоты от своего математического ожидания для второй серии:

$|W_2 - M(W_2)| = |0.572 - 0.7| = |-0.128| = 0.128$

4. Стандартное отклонение частоты для второй серии. Дисперсия:

$D(W_2) = \frac{p \cdot q}{n_2} = \frac{0.7 \cdot 0.3}{500} = \frac{0.21}{500} = 0.00042$

Стандартное отклонение:

$\sigma(W_2) = \sqrt{D(W_2)} = \sqrt{0.00042} \approx 0.02049$

5. Сравнение. Сравним истинное отклонение ($0.128$) и стандартное отклонение ($\approx 0.02049$):

$0.128 > 0.02049$

Во второй серии истинное отклонение частоты также оказалось больше, чем стандартное отклонение.

Ответ: отклонение частоты от своего математического ожидания равно 0.128. Истинное отклонение частоты (0.128) больше, чем стандартное отклонение частоты ($\approx 0.02049$).

276 Проводится серия из $n$ испытаний Бернулли с вероятностью успеха $p$.

a) При каком $p$ дисперсия числа успехов наибольшая возможная?

б) Чему равно наибольшее возможное стандартное отклонение числа успехов?

Указание. Рассмотрите выражение для дисперсии $DS = npq$ как квадратный трёхчлен от $p: y = n(p - p^2)$.

а) При каком p дисперсия числа успехов наибольшая возможная?

Дисперсия $D$ числа успехов в серии из $n$ испытаний Бернулли с вероятностью успеха $p$ вычисляется по формуле $D = npq$, где $q$ — вероятность неудачи, и $q = 1 - p$. Таким образом, дисперсия является функцией от $p$: $D(p) = np(1 - p) = -np^2 + np$.

Чтобы найти, при каком значении $p$ дисперсия максимальна, мы можем рассмотреть эту функцию на отрезке $[0, 1]$. Выражение $D(p) = -np^2 + np$ представляет собой квадратичную функцию от $p$. График этой функции — парабола, ветви которой направлены вниз, поскольку коэффициент при $p^2$ (равный $-n$) отрицателен (так как число испытаний $n \ge 1$).

Максимальное значение такой функции достигается в вершине параболы. Координата вершины $p_{верш}$ для параболы $y = ap^2 + bp + c$ находится по формуле $p_{верш} = -\frac{b}{2a}$. В нашем случае, $a = -n$ и $b = n$.

Следовательно, значение $p$, при котором дисперсия максимальна, равно: $p = -\frac{n}{2(-n)} = \frac{n}{2n} = \frac{1}{2}$.

Это значение $p=0.5$ находится в допустимом диапазоне для вероятности $[0, 1]$. Таким образом, дисперсия числа успехов является наибольшей, когда вероятность успеха равна вероятности неудачи.

Ответ: $p=0.5$.

б) Чему равно наибольшее возможное стандартное отклонение числа успехов?

Стандартное отклонение $\sigma$ является квадратным корнем из дисперсии: $\sigma = \sqrt{D}$. Поскольку функция квадратного корня монотонно возрастает, наибольшее стандартное отклонение будет достигнуто при том же значении $p$, при котором достигается наибольшая дисперсия, то есть при $p = 0.5$.

Сначала найдем наибольшее возможное значение дисперсии $D_{max}$, подставив $p=0.5$ в формулу для дисперсии: $D_{max} = n \cdot p \cdot (1-p) = n \cdot 0.5 \cdot (1 - 0.5) = n \cdot 0.5 \cdot 0.5 = \frac{n}{4}$.

Теперь вычислим наибольшее возможное стандартное отклонение $\sigma_{max}$: $\sigma_{max} = \sqrt{D_{max}} = \sqrt{\frac{n}{4}} = \frac{\sqrt{n}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{n}}{2}$.