Страница 87, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник часть 1, 2 Высоцкий, Ященко

1 Своими словами объясните, что такое путь в графе.

1 Представьте, что граф — это карта городов, а дороги между ними — это ребра. В таком случае путь в графе — это конкретный маршрут из одного города в другой, который можно проложить, двигаясь исключительно по существующим дорогам от города к городу.

Более строго, путь — это последовательность вершин, в которой каждая следующая вершина напрямую соединена ребром с предыдущей. Например, если у нас есть вершины $v_1, v_2, v_3, v_4$ и ребра, соединяющие $v_1$ с $v_2$, $v_2$ с $v_3$, и $v_3$ с $v_4$, то последовательность этих вершин $v_1 \to v_2 \to v_3 \to v_4$ является путем.

У каждого пути есть начало (первая вершина), конец (последняя вершина) и длина. Длина пути — это количество ребер (дорог), из которых он состоит. В нашем примере длина пути равна 3.

Важно отметить, что часто под "путем" подразумевают "простой путь", в котором ни одна вершина (и ни одно ребро) не повторяется. Это как путешествие, в котором вы не посещаете один и тот же город дважды. Если же вершины или ребра могут повторяться, то такую последовательность правильнее называть "маршрутом".

Таким образом, путь в графе — это, по сути, "тропинка" из ребер, показывающая, как добраться от одной вершины к другой.

Ответ: Путь в графе — это последовательность вершин, где каждая пара соседних вершин в этой последовательности соединена ребром. Простыми словами, это один из возможных маршрутов для перемещения между двумя точками (вершинами) в сети (графе), двигаясь по ее соединениям (ребрам).

2 Объясните, что такое цепь.

Слово "цепь" является многозначным и используется в различных контекстах. Ниже приведены объяснения его основных значений.

1. В бытовом и техническом смысле
Цепь — это гибкое изделие, состоящее из последовательно соединённых жёстких звеньев, которые обычно изготавливаются из металла. Такие цепи имеют широкое применение: для передачи механической энергии (например, цепь велосипеда или бензопилы), для подъёма и перемещения грузов (грузоподъёмные цепи), в качестве ограждений, а также как ювелирные украшения (цепочки). В переносном значении "цепь" обозначает непрерывную последовательность связанных между собой явлений, объектов или событий, например: "цепь рассуждений", "горная цепь", "цепь событий".
Ответ: В быту и технике цепь — это изделие из соединённых звеньев для механических нужд, а в переносном смысле — любая последовательность связанных элементов или событий.

2. В электротехнике
Электрическая цепь — это совокупность устройств, предназначенных для протекания электрического тока. Любая электрическая цепь включает в себя три основных компонента:
1. Источник электрической энергии (например, батарейка, аккумулятор, генератор).
2. Потребитель или нагрузка (например, лампочка, электродвигатель, резистор), который преобразует электрическую энергию в другой вид энергии (световую, тепловую, механическую).
3. Соединительные элементы (провода, выключатели), которые образуют замкнутый путь для тока.
Простейшие расчёты в цепях постоянного тока выполняются с помощью закона Ома: $I = \frac{U}{R}$, где $I$ — сила тока, $U$ — напряжение на участке цепи, а $R$ — сопротивление этого участка.
Ответ: Электрическая цепь — это замкнутый путь, состоящий из источника, потребителя и соединительных проводников, по которому может протекать электрический ток.

3. В биологии и экологии
Пищевая (трофическая) цепь — это последовательность организмов, в которой каждый предыдущий вид служит пищей для последующего. Это основной путь передачи энергии и вещества в экосистеме. Пищевая цепь состоит из нескольких уровней:
• Продуценты — организмы, производящие органическое вещество из неорганического (в основном, растения).
• Консументы — потребители готового органического вещества (животные). Разделяются на консументов первого порядка (травоядные), второго порядка (хищники, питающиеся травоядными) и т.д.
• Редуценты — организмы, разлагающие мёртвые останки до неорганических веществ (бактерии, грибы).
Пример простой пищевой цепи: клевер → кролик → лиса.
Ответ: Пищевая цепь — это ряд организмов, связанных отношениями "пища-потребитель", по которому в экосистеме передаётся энергия.

4. В математике (теория графов)
В теории графов цепь (также называемая простым путём) — это конечная последовательность вершин, в которой любые две соседние вершины соединены ребром, причём все вершины (и, как следствие, рёбра) в этой последовательности различны. Другими словами, это маршрут по графу, не проходящий через одну и ту же вершину дважды. Если начальная и конечная вершины цепи различны, цепь называется незамкнутой. Если они совпадают, то такая замкнутая цепь образует простой цикл.
Ответ: В теории графов цепь — это последовательность различных вершин, где каждая пара соседних вершин соединена ребром.

5. В информационных технологиях
Цепочка блоков (от англ. blockchain, блокчейн) — это распределённая база данных, которая состоит из непрерывной последовательности блоков. Каждый блок содержит набор записей (транзакций) и криптографическую ссылку на предыдущий блок, образуя таким образом цепь. Эта структура обеспечивает неизменность и безопасность данных: изменение информации в одном из блоков потребует изменения всех последующих блоков, что практически невозможно в децентрализованной сети. Технология блокчейн является основой для криптовалют, таких как Bitcoin и Ethereum.
Ответ: В IT цепь (блокчейн) — это защищённая криптографически, децентрализованная и непрерывная последовательность блоков с информацией.

3 Может ли в цепи рёбер быть больше, чем вершин?

Да, в цепи может быть больше рёбер, чем вершин. Однако ответ на этот вопрос зависит от того, какое определение "цепи" используется.

1. Если "цепь" — это простая цепь (или путь)

Простая цепь — это такая последовательность вершин, в которой ни одна вершина не повторяется. Пусть в такой цепи $n$ вершин: $v_1, v_2, \dots, v_n$. Эти вершины последовательно соединены рёбрами $(v_1, v_2), (v_2, v_3), \dots, (v_{n-1}, v_n)$.

В этом случае количество вершин равно $n$, а количество рёбер $m$ всегда будет на единицу меньше:

$m = n - 1$

Например, в цепи $v_1 \rightarrow v_2 \rightarrow v_3 \rightarrow v_4$ 4 вершины и 3 ребра. Здесь количество рёбер меньше количества вершин. При таком определении ответ на вопрос — нет.

2. Если в цепи разрешены повторения вершин (маршрут)

Если рассматривать цепь как маршрут, в котором можно возвращаться в уже пройденные вершины, то количество рёбер может превысить количество вершин. Это происходит, когда маршрут содержит один или несколько циклов.

Рассмотрим конкретный пример. Пусть есть граф в виде треугольника с вершинами $A, B, C$.

Построим в этом графе цепь (маршрут), которая начинается в вершине $A$, проходит по кругу и делает ещё один шаг:

$A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow A \rightarrow B$

Подсчитаем количество уникальных вершин в этой цепи. Это вершины $A, B, C$. Их общее количество $n=3$.

Теперь подсчитаем количество рёбер в этой цепи (то есть количество "шагов"). Маршрут состоит из 4 рёбер: $(A, B)$, $(B, C)$, $(C, A)$ и снова $(A, B)$. Таким образом, количество рёбер $m=4$.

В данном примере мы имеем $m = 4$ и $n = 3$, что удовлетворяет условию $m > n$.

Ответ: Да, в цепи может быть больше рёбер, чем вершин, если под цепью понимать маршрут, в котором допускается повторное прохождение вершин.

4 Объясните, что такое цикл.

Цикл (в общем смысле)

Цикл (от греческого κύκλος — круг, окружность) — это совокупность взаимосвязанных явлений, процессов или работ, образующих законченный круг развития в течение какого-либо промежутка времени. По завершении одного цикла часто начинается следующий. Понятие цикла используется во многих областях науки и техники.

Ответ: В общем смысле цикл — это повторяющаяся последовательность процессов или явлений, которая возвращается к исходному состоянию или начинает новый, аналогичный этап.

Цикл в программировании

В программировании цикл (или циклическая конструкция, loop) — это одна из фундаментальных управляющих конструкций, которая позволяет многократно выполнять определённый блок кода (тело цикла). Повторение продолжается до тех пор, пока выполняется некоторое условие (условие продолжения) или пока не станет истинным условие выхода из цикла.

Основные цели использования циклов:

• Автоматизация повторяющихся задач.
• Обработка элементов коллекций данных, таких как массивы, списки или строки.
• Организация вычислений, требующих многократных повторений (итераций).

Существуют различные виды циклов:

1. Цикл с предусловием (while): Условие проверяется перед каждой итерацией. Если условие изначально ложно, тело цикла не выполнится ни разу.
2. Цикл с постусловием (do-while): Условие проверяется после каждой итерации. Это гарантирует, что тело цикла выполнится как минимум один раз.
3. Цикл со счётчиком (for): Идеально подходит для случаев, когда количество повторений известно заранее. Он включает инициализацию счётчика, условие продолжения и шаг изменения счётчика (инкремент или декремент).
4. Цикл по коллекции (foreach): Упрощённый вариант цикла для перебора всех элементов в наборе данных без необходимости вручную управлять индексами.

Пример цикла for на языке JavaScript, который выводит числа от 0 до 4:

for (let i = 0; i < 5; i++) { console.log(i);}

Ответ: В программировании цикл — это управляющая конструкция для многократного выполнения блока кода, пока истинно заданное условие.

Цикл в термодинамике

В термодинамике цикл (или круговой процесс) — это последовательность термодинамических процессов, в результате которых система возвращается в свое первоначальное состояние. Поскольку начальное и конечное состояния совпадают, изменение внутренней энергии системы за один полный цикл равно нулю: $ \Delta U = 0 $.

Согласно первому закону термодинамики, $ \Delta U = Q - W $, где $ Q $ — количество теплоты, полученное системой, а $ W $ — работа, совершённая системой. Для цикла это уравнение принимает вид $ Q = W $. Это означает, что вся подведенная к системе теплота преобразуется в механическую работу (или наоборот, в зависимости от направления цикла). На этом принципе основана работа тепловых двигателей и холодильных машин.

Известные термодинамические циклы:

• Цикл Карно — идеальный теоретический цикл, определяющий максимально возможный КПД теплового двигателя.
• Цикл Отто — моделирует работу бензинового двигателя внутреннего сгорания.
• Цикл Дизеля — моделирует работу дизельного двигателя.

Ответ: В термодинамике цикл — это круговой процесс, возвращающий термодинамическую систему в исходное состояние, при котором подведенная теплота преобразуется в работу (или наоборот).

Жизненный цикл в биологии

Жизненный цикл — это последовательность стадий развития, через которые проходит организм от своего зарождения (например, от зиготы) до зрелого состояния, способного к размножению и созданию следующего поколения. Это обеспечивает непрерывность существования вида.

Примеры жизненных циклов:

• У насекомых с полным превращением (например, бабочка): яйцо → личинка (гусеница) → куколка → взрослая особь (имаго).
• У папоротников: происходит чередование поколений — спорофита (взрослое растение, производящее споры) и гаметофита (заросток, производящий половые клетки).
• У человека: рождение → детство → юность → зрелость → старость. Цикл замыкается через репродукцию, когда зрелый организм дает начало новому поколению.

Ответ: В биологии жизненный цикл — это совокупность всех стадий развития организма от зарождения до зрелости и размножения, обеспечивающая смену поколений.

Экономический цикл

Экономический (или деловой) цикл — это периодические колебания экономической активности, состоящие из чередующихся подъёмов и спадов в экономике. Эти колебания характеризуются изменениями таких показателей, как ВВП, уровень занятости, объём производства и доходы.

Классический экономический цикл состоит из четырёх фаз:

1. Подъём (Экспансия): Период роста экономической активности. Растёт производство, занятость, доходы и потребительский спрос.
2. Пик: Высшая точка экономической активности, после которой рост замедляется и сменяется спадом.
3. Спад (Рецессия): Период сокращения экономической активности. Снижается ВВП, растёт безработица, падают инвестиции.
4. Дно (Депрессия): Низшая точка спада, после которой экономика начинает восстанавливаться, и начинается новый подъём.

Ответ: Экономический цикл — это периодические волнообразные колебания деловой активности, включающие фазы подъёма, пика, спада и дна.

5 Может ли в цикле рёбер быть меньше, чем вершин?

5 Нет, в цикле не может быть рёбер меньше, чем вершин. В любом цикле количество рёбер в точности равно количеству вершин.

Для доказательства этого утверждения рассмотрим определение цикла в теории графов. Цикл — это замкнутый путь, в котором начальная и конечная вершины совпадают, а все остальные вершины и все рёбра уникальны.

Представим цикл, содержащий $n$ вершин. Обозначим эти вершины в порядке их следования в цикле: $v_1, v_2, \dots, v_n$.

Чтобы соединить эти вершины в последовательную цепь (простой путь), необходимо ребро между $v_1$ и $v_2$, затем между $v_2$ и $v_3$, и так далее, вплоть до ребра между $v_{n-1}$ и $v_n$. Такой путь, проходящий через $n$ вершин, будет состоять из $n-1$ рёбер.

Однако эта структура ещё не является циклом, так как она не замкнута. Чтобы замкнуть путь и образовать цикл, необходимо добавить ещё одно ребро, которое соединит последнюю вершину пути ($v_n$) с первой ($v_1$).

Таким образом, общее количество рёбер в цикле, который проходит через $n$ вершин, будет равно сумме рёбер в исходном пути и замыкающего ребра: $(n-1) + 1 = n$.

Получается, что для любого цикла с количеством вершин $V$ количество рёбер $E$ будет равно $V$. Математически это записывается как $E = V$.

Следовательно, ситуация, в которой количество рёбер меньше количества вершин ($E < V$), в цикле невозможна.

Примеры:

• Простейший цикл в простом графе — это треугольник. Он имеет 3 вершины и 3 ребра ($V=3, E=3$).
• Цикл из четырёх вершин (квадрат) имеет 4 вершины и 4 ребра ($V=4, E=4$).
• В общем виде, цикл $C_k$ имеет $k$ вершин и $k$ рёбер.

Ответ: Нет, не может. В любом цикле количество рёбер всегда равно количеству вершин.

6 Какой граф называют связным?

В теории графов, граф $G = (V, E)$, состоящий из множества вершин $V$ и множества ребер $E$, называют связным, если для любой пары его различных вершин $u$ и $v$ существует хотя бы один путь, соединяющий эти вершины.

Путь в графе — это последовательность ребер, которая соединяет последовательность вершин. Простыми словами, граф является связным, если он представляет собой единое целое, а не состоит из нескольких отдельных, не соединенных между собой частей (компонент связности). Из любой вершины связного графа можно «добраться» до любой другой, перемещаясь по его ребрам.

Например, если представить города как вершины, а дороги между ними как ребра, то граф дорожной сети будет связным, если из любого города можно проехать в любой другой. Если же существует город или группа городов, из которых невозможно добраться до остальных (например, остров без мостов и паромных переправ), то такой граф будет несвязным.

Для ориентированных графов (орграфов), где ребра имеют направление, различают более строгие типы связности:

Слабая связность: Орграф называется слабо связным, если его «основа» (неориентированный граф, полученный игнорированием направлений всех ребер) является связной. То есть, путь между любыми двумя вершинами существует, если можно двигаться по ребрам в любую сторону.

Сильная связность: Орграф называется сильно связным, если для любой упорядоченной пары вершин $(u, v)$ существует ориентированный путь как из $u$ в $v$, так и из $v$ в $u$. Это означает, что из любой вершины можно добраться до любой другой, строго следуя направлениям ребер.

Ответ: Связным называют граф, в котором для любых двух вершин существует путь, их соединяющий.

131 Есть ли в графе, изображённом на рисунке 30, путь:

а) из вершины А в вершину С;

б) из вершины В в вершину F?

Связный ли это граф?

Рисунок 30

Рисунок 31

а) из вершины А в вершину С;
Чтобы определить, существует ли путь из вершины А в вершину С, нужно посмотреть, соединены ли эти вершины последовательностью рёбер. В графе на рисунке 30 видно, что вершины А и С принадлежат одной и той же части графа (компоненте связности). Существует несколько путей, соединяющих их. Например, можно пройти от вершины А к вершине D, а затем от D к С. Этот путь можно записать как $A \to D \to C$. Другой возможный путь: $A \to B \to C$. Так как существует хотя бы один такой путь, ответ на вопрос положительный.
Ответ: да, существует. Например, путь $A \to B \to C$.

б) из вершины В в вершину F?
Рассмотрим вершины B и F. Вершина B находится в компоненте связности, которая включает вершины {A, B, C, D}. Вершина F находится в другой, отдельной компоненте связности, состоящей из вершин {E, F}. Между этими двумя компонентами нет ни одного ребра. Следовательно, невозможно построить путь от любой вершины из первой компоненты (включая B) к любой вершине из второй компоненты (включая F).
Ответ: нет, не существует.

Связный ли это граф?
Граф называется связным, если между любыми двумя его различными вершинами существует путь. В данном графе, как мы выяснили в предыдущем пункте, не существует пути, например, между вершинами B и F. Наличие хотя бы одной пары вершин, между которыми нет пути, означает, что граф не является связным. Он состоит из двух несвязанных между собой частей, называемых компонентами связности.
Ответ: нет, граф не является связным.

132 Рассмотрите граф на рисунке 31. Запишите какие-нибудь три цепи, ведущие из вершины А в вершину В.

$A \to F \to B$

$A \to F \to D \to E \to B$

$A \to C \to D \to E \to B$

Рисунок 31

В теории графов цепь (или путь) — это последовательность вершин, в которой каждая соседняя пара вершин соединена ребром. В простой цепи вершины не повторяются. Задача состоит в том, чтобы найти три любые такие цепи, начинающиеся в вершине A и заканчивающиеся в вершине B.

Первая цепь: Рассмотрим самый короткий путь по нижним рёбрам графа. Из вершины A можно перейти в вершину F, а из вершины F — в вершину B. Это самая простая и короткая цепь.
Ответ: $A \rightarrow F \rightarrow B$.

Вторая цепь: Теперь найдём путь, который проходит через диагональное ребро AD и верхние вершины. Из вершины A перейдём в вершину D, затем из D в E, и из E — в конечную вершину B.
Ответ: $A \rightarrow D \rightarrow E \rightarrow B$.

Третья цепь: Для третьего примера выберем более длинный маршрут. Начнём путь из A в C, затем из C в D. Из вершины D можно спуститься к вершине F, а оттуда перейти к конечной точке B.
Ответ: $A \rightarrow C \rightarrow D \rightarrow F \rightarrow B$.

133 Найдите на рисунке 31 три разных цикла.

Для решения этой задачи необходим "рисунок 31", который не был предоставлен. Задача заключается в нахождении циклов в графе. Цикл в графе — это замкнутый путь, который начинается и заканчивается в одной и той же вершине, при этом не проходя через другие вершины или ребра более одного раза.

В качестве примера, давайте представим, что на рисунке 31 изображен граф со следующими вершинами и ребрами (соединениями):

Вершины: A, B, C, D, E
Ребра: A-B, B-C, C-D, D-A, A-E, B-E

Этот граф можно вообразить как квадрат ABCD, к стороне AB которого "пристроен" треугольник ABE. На основе этого гипотетического графа можно выделить следующие три различных цикла:

Первый цикл
Этот цикл образован вершинами треугольника ABE. Путь начинается в вершине A, идет к вершине B, затем к вершине E и возвращается в A.
Последовательность вершин: A → B → E → A.
Ответ: A-B-E-A.

Второй цикл
Этот цикл образован вершинами квадрата ABCD. Путь начинается в вершине A, последовательно проходит через B, C, D и возвращается в A.
Последовательность вершин: A → B → C → D → A.
Ответ: A-B-C-D-A.

Третий цикл
Это составной цикл, который проходит по внешнему контуру всей фигуры, не используя общее для квадрата и треугольника ребро A-B. Путь может быть таким: от вершины A к D, далее к C, B, E и обратно в A.
Последовательность вершин: A → D → C → B → E → A.
Ответ: A-D-C-B-E-A.

134 Рассмотрите рисунок 32 и выпишите номера графов, которые являются:

а) цепями;

б) циклами;

в) несвязными графами.

Рисунок 32

а) цепями;
Цепь (или простой путь) — это связный граф без циклов. У цепи есть две конечные вершины, степень которых равна $1$, а все остальные (промежуточные) вершины имеют степень $2$. Проанализируем графы:
- Граф 2: является цепью. Он связный, не имеет циклов, у него две вершины со степенью $1$ и три вершины со степенью $2$.
- Граф 5: является цепью по тем же причинам. Он связный, без циклов, с двумя вершинами степени $1$ и тремя вершинами степени $2$.
- Граф 8: является простейшей цепью, состоящей из одного ребра и двух вершин, обе со степенью $1$.
Остальные графы не подходят под это определение: граф 1 несвязный, а графы 3, 4, 6, 7, 9 содержат циклы.
Ответ: 2, 5, 8.

б) циклами;
Цикл — это связный граф, в котором все вершины имеют одинаковую степень, равную $2$. Такой граф образует единый замкнутый путь.
- Граф 9: является циклом. Это связный граф, и степень каждой его вершины равна $2$.
Другие графы не являются циклами. Графы 3, 4, 6, 7 хотя и содержат циклы, но не являются ими в строгом смысле, так как в них есть вершины со степенями $3$ и $4$. Графы 1, 2, 5, 8 не являются циклами.
Ответ: 9.

в) несвязными графами.
Несвязный граф — это граф, который состоит из двух или более не соединенных между собой частей, которые называются компонентами связности.
- Граф 1: является несвязным. Он состоит из двух компонент связности, каждая из которых представляет собой отдельное ребро.
Все остальные графы (с 2 по 9) являются связными, так как в каждом из них существует путь между любыми двумя вершинами.
Ответ: 1.