Страница 81, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник часть 1, 2 Высоцкий, Ященко

1 Вспомните, где вам встречались графы.

В математике и информатике

В математике графы изучаются в разделе, который так и называется — теория графов. Граф здесь — это абстрактный объект, состоящий из набора вершин (точек) и рёбер (линий), которые их соединяют. Такие графы используются для моделирования самых разных систем и их связей. Например, при решении знаменитой задачи о Кёнигсбергских мостах, где городские районы были представлены вершинами, а мосты — рёбрами. В информатике графы являются одной из фундаментальных структур данных. Например, файловая система компьютера может быть представлена в виде графа-дерева, где папки и файлы являются вершинами, а вложенность — рёбрами.
Ответ: В математике и информатике графы встречаются как абстрактные объекты, состоящие из вершин и рёбер, для моделирования систем и в качестве структур данных.

В географии и логистике

Любая карта транспортной сети — это по своей сути граф. Города или перекрёстки выступают в роли вершин, а дороги, железнодорожные пути или авиамаршруты — в роли рёбер. GPS-навигаторы (например, Яндекс.Карты или Google Maps) используют графы дорог для поиска кратчайшего пути из одной точки в другую. Вес ребра в таком графе может представлять расстояние, время в пути или даже стоимость проезда. Схемы метро — это тоже классический пример графа, где станции являются вершинами, а перегоны между ними — рёбрами.
Ответ: В географии и логистике графы используются для представления транспортных сетей (карты дорог, схемы метро, авиамаршруты) и для решения задач по поиску оптимальных маршрутов.

В социальных сетях и интернете

Социальные сети, такие как ВКонтакте или Instagram, являются огромными графами. Каждый пользователь — это вершина, а связь между пользователями (дружба, подписка) — это ребро. Анализ таких графов позволяет платформам рекомендовать новых друзей или интересный контент. Весь интернет также можно представить как гигантский граф, где веб-страницы — это вершины, а гиперссылки, ведущие с одной страницы на другую, — это направленные рёбра. Поисковые системы анализируют этот граф для определения важности и релевантности страниц.
Ответ: В интернете графы представляют структуру социальных сетей (пользователи и их связи) и всемирной паутины (веб-страницы и гиперссылки).

В естественных науках

В химии графы используются для описания структуры молекул: атомы — это вершины, а химические связи между ними — рёбра. В биологии с помощью графов моделируют пищевые цепи (где виды — вершины, а отношения «хищник-жертва» — рёбра) или генные сети. В генеалогии семейное древо (генеалогическое древо) — это тоже граф (точнее, его частный случай — дерево), показывающий родственные связи между людьми.
Ответ: В химии, биологии и генеалогии графы моделируют структуры молекул, пищевые цепи и родственные связи.

Как графики функций и диаграммы

Слово "граф" также часто используется в значении "график" — визуальное представление данных. С такими графиками мы постоянно сталкиваемся на уроках математики и физики. Например, график параболы $y = ax^2 + bx + c$ или график зависимости скорости от времени при равноускоренном движении $v(t) = v_0 + at$. В экономике это графики спроса и предложения или курсов валют. В повседневной жизни мы видим их в сводках погоды (график изменения температуры), в медицинских отчётах (например, электрокардиограмма) или при анализе статистических данных (столбчатые и круговые диаграммы).
Ответ: Графики как визуальное представление числовых данных встречаются повсеместно: от графиков функций в математике до диаграмм в экономике и повседневной жизни.

2 Как называются линии, связывающие вершины графа?

В теории графов линии, которые связывают вершины, называются рёбрами. Граф представляет собой совокупность двух множеств: множества вершин (или узлов) и множества рёбер.

Формально граф $G$ можно определить как пару множеств $G = (V, E)$, где $V$ — непустое множество вершин, а $E$ — множество рёбер, каждое из которых соединяет некоторую пару вершин из $V$.

В случае, если рёбра имеют направление (т.е. граф является ориентированным), их чаще называют дугами.

Ответ: Рёбра.

3 Как можно проверить, одинаковы два графа или нет?

Проверка того, являются ли два графа одинаковыми, в математике называется задачей об изоморфизме графов. Два графа $G_1 = (V_1, E_1)$ и $G_2 = (V_2, E_2)$ считаются одинаковыми (изоморфными), если между их вершинами можно установить взаимно-однозначное соответствие (биекцию) $f: V_1 \to V_2$, которое сохраняет смежность. Это значит, что ребро между вершинами $u$ и $v$ существует в графе $G_1$ тогда и только тогда, когда существует ребро между соответствующими вершинами $f(u)$ и $f(v)$ в графе $G_2$.

Процесс проверки можно разбить на два основных этапа.

1. Проверка необходимых условий (с помощью инвариантов)

Инвариант графа — это свойство, которое не меняется при любом изоморфном преобразовании. Если два графа изоморфны, их инварианты должны совпадать. Это самый быстрый способ доказать, что графы разные. Если хотя бы один инвариант не совпадает, графы точно не изоморфны. Основные инварианты для проверки:

• Число вершин: Количество вершин в обоих графах должно быть одинаковым: $|V_1| = |V_2|$.
• Число ребер: Количество ребер также должно совпадать: $|E_1| = |E_2|$.
• Последовательность степеней вершин: Набор степеней всех вершин одного графа (мультимножество) должен быть таким же, как и у другого. Например, если в одном графе есть три вершины со степенями (2, 2, 3), то и в другом должен быть такой же набор степеней.
• Число компонент связности: Если один граф связный, а другой нет, они не изоморфны.
• Наличие и количество циклов определенной длины: Например, количество треугольников (циклов длины 3) или квадратов (циклов длины 4) в графах должно быть одинаковым.

Если инварианты совпадают, это еще не доказывает, что графы изоморфны. Это лишь необходимое, но не достаточное условие для доказательства их идентичности.

Ответ: На первом этапе сравниваются простые характеристики графов (инварианты), такие как число вершин, ребер и распределение степеней вершин. Если они не совпадают, графы не одинаковы.

2. Поиск изоморфизма (достаточное условие)

Если все простые инварианты совпали, необходимо попытаться построить само отображение $f$, которое докажет изоморфизм. Для небольших графов это можно сделать методом перебора. Алгоритм действий следующий:

1. Выберите вершину $u_1$ в графе $G_1$.
2. Найдите в графе $G_2$ все вершины, которые могут соответствовать $u_1$. Это вершины, имеющие ту же степень, что и $u_1$ (и, возможно, другие совпадающие инварианты, например, количество треугольников, в которые они входят). Выберите одну из них, пусть это будет вершина $v_1$. Устанавливаем пробное соответствие $f(u_1) = v_1$.
3. Рассмотрим соседей вершины $u_1$ в $G_1$ и соседей вершины $v_1$ в $G_2$. Попытайтесь установить соответствие между этими группами соседей, снова учитывая их степени и связи между ними.
4. Продолжайте этот процесс рекурсивно для всех вершин. Если на каком-то шаге вы приходите к противоречию (например, вершине нужно сопоставить две разные вершины или нарушается условие смежности), вернитесь на шаг назад и попробуйте другое соответствие (этот метод называется поиском с возвратом или бэктрекингом).
5. Если удалось построить полное взаимно-однозначное соответствие для всех вершин, сохраняющее смежность, то графы изоморфны.
6. Если были перебраны все возможные начальные соответствия и ни одно не привело к успеху, то графы не изоморфны.

Стоит отметить, что задача проверки изоморфизма графов в общем виде является вычислительно сложной. Для нее до сих пор не найден алгоритм, работающий за полиномиальное время (класс P), но она и не доказана как NP-полная.

Ответ: На втором, основном этапе, осуществляется попытка прямого построения отображения вершин одного графа на вершины другого с сохранением структуры связей. Если такое отображение найдено — графы одинаковы (изоморфны); если после полного перебора вариантов отображение не найдено — графы различны.

116 На рисунке 19 изображены графы. Сколько у каждого из них рёбер; вершин; изолированных вершин?

а) Рёбер: $4$; Вершин: $5$; Изолированных вершин: $1$.

б) Рёбер: $5$; Вершин: $7$; Изолированных вершин: $2$.

Рисунок 19

а)

Проанализируем граф, изображенный на рисунке а).

• Рёбра: Рёбра — это линии, соединяющие точки (вершины). Посчитав линии на рисунке, мы видим, что их 4.
• Вершины: Вершины — это точки. На рисунке изображено 5 точек.
• Изолированные вершины: Изолированная вершина — это вершина, которая не соединена ни с одной другой вершиной (не является концом ни одного ребра). На данном графе есть одна такая вершина, расположенная в центре.

Ответ: 4 ребра, 5 вершин, 1 изолированная вершина.

б)

Проанализируем граф, изображенный на рисунке б).

• Рёбра: Посчитав линии на рисунке, мы видим, что их 5.
• Вершины: На рисунке изображено 6 точек.
• Изолированные вершины: На данном графе есть две вершины, которые не соединены с другими.

Ответ: 5 рёбер, 6 вершин, 2 изолированные вершины.

117 Одинаковы ли графы, изображённые на рисунке 20?

а) б) Рисунок 20

Два графа называются одинаковыми или изоморфными, если между их вершинами можно установить взаимно-однозначное соответствие (биекцию), которое сохраняет смежность. Проще говоря, если один граф можно получить из другого, двигая вершины и изгибая рёбра, не разрывая их и не создавая новых.

Чтобы определить, одинаковы ли графы, нужно сравнить их инварианты — характеристики, которые не меняются при изоморфизме. Основные инварианты — это число вершин, число рёбер и последовательность степеней вершин.

Рассмотрим первую пару графов.

Левый граф:

• Количество вершин: 5.
• Количество рёбер: 5.
• Степени вершин (количество рёбер, выходящих из каждой вершины): есть одна вершина со степенью 3, три вершины со степенью 2 и одна вершина со степенью 1.
• Последовательность степеней: {3, 2, 2, 2, 1}.

Правый граф:

• Количество вершин: 5.
• Количество рёбер: 5.
• Степени вершин: есть одна вершина со степенью 3 (верхняя правая), три вершины четырехугольника со степенью 2 и одна "внутренняя" вершина со степенью 1.
• Последовательность степеней: {3, 2, 2, 2, 1}.

Поскольку количество вершин, рёбер и последовательности степеней у обоих графов совпадают, есть основание полагать, что они одинаковы. Проанализируем их структуру. Оба графа состоят из простого цикла на четырёх вершинах (четырёхугольника) и ещё одной вершины, которая соединена ребром с одной из вершин цикла. В обоих случаях эта "висячая" вершина (степени 1) соединена с вершиной, имеющей наибольшую степень (степень 3). Это подтверждает, что структура графов идентична. Их можно нарисовать одинаково, изменив расположение вершин.

Ответ: да, графы одинаковы.

Рассмотрим вторую пару графов.

Левый граф:

• Количество вершин: 4.
• Количество рёбер: 4.
• Степени вершин: все четыре вершины имеют степень 2.
• Последовательность степеней: {2, 2, 2, 2}.
• Структура: этот граф является циклом $C_4$.

Правый граф:

• Количество вершин: 4.
• Количество рёбер: 3.
• Степени вершин: одна центральная вершина имеет степень 3, а три остальные вершины имеют степень 1.
• Последовательность степеней: {3, 1, 1, 1}.
• Структура: этот граф является звездой $K_{1,3}$.

Сравнивая инварианты, мы видим, что, хотя количество вершин у графов одинаково (4), у них разное количество рёбер (4 у левого и 3 у правого) и совершенно разные последовательности степеней. Наличие хотя бы одного такого различия уже достаточно, чтобы сделать вывод о том, что графы не являются одинаковыми.

Ответ: нет, графы не одинаковы.

118 Нарисуйте три разных графа, в каждом из которых 3 вершины.

Граф определяется набором вершин (точек) и ребер (линий, соединяющих некоторые пары вершин). Разными (неизоморфными) графами считаются те, которые имеют различную структуру связей между вершинами. Для графа с тремя вершинами существует 4 неизоморфных варианта, которые отличаются количеством ребер. Ниже приведены три из них.

1. Граф с 0 ребер

   Это граф, состоящий из трех вершин, между которыми нет ни одного ребра. Все вершины изолированы. Такой граф называется пустым графом на 3 вершинах.
2. Граф с 1 ребром

   В этом графе две вершины соединены одним ребром, а третья вершина остается изолированной.
3. Граф с 3 ребрами

   Все три вершины попарно соединены ребрами. Каждая вершина соединена с двумя другими. Этот граф является полным графом $K_3$, а также простым циклом $C_3$.

Четвертым возможным вариантом является граф с 2 ребрами, в котором вершины образуют цепь (одна вершина соединена с двумя другими, а те, в свою очередь, соединены только с центральной).

Ответ: На рисунках выше представлены три различных (неизоморфных) графа с тремя вершинами: пустой граф (0 ребер), граф с одним ребром и полный граф (3 ребра).

119 Нарисуйте четыре разных графа, в каждом из которых 4 вершины.

Для выполнения задания необходимо нарисовать четыре разных (неизоморфных) графа, в каждом из которых по 4 вершины. Графы будут отличаться количеством рёбер и/или структурой их соединений. Ниже приведены четыре примера.

Граф 1

Пустой граф $N_4$. Это граф, который состоит из четырех вершин и не имеет ни одного ребра. Все вершины в нем изолированы.

Ответ: Изображен пустой граф с 4 вершинами и 0 рёбер.

Граф 2

Граф-путь $P_4$. Это граф, вершины которого соединены последовательно, образуя путь или цепь. У него 4 вершины и 3 ребра. Две крайние вершины имеют степень 1, а две центральные — степень 2.

Ответ: Изображен граф-путь $P_4$ с 4 вершинами и 3 рёбрами.

Граф 3

Граф-цикл $C_4$. Это граф, в котором 4 вершины и 4 ребра образуют замкнутый цикл (квадрат). Степень каждой вершины равна 2.

Ответ: Изображен граф-цикл $C_4$ с 4 вершинами и 4 рёбрами.

Граф 4

Полный граф $K_4$. Это граф, в котором каждая вершина соединена с каждой другой. У него 4 вершины и максимальное возможное количество рёбер для такого числа вершин — 6. Степень каждой вершины равна 3.

Ответ: Изображен полный граф $K_4$ с 4 вершинами и 6 рёбрами.

120 На рисунке 21 изображён граф. С помощью движения вершин изобразите этот граф так, чтобы рёбра не пересекались во внутренних точках (получатся два одинаковых графа).

Рисунок 21

Задача состоит в том, чтобы перерисовать заданный граф, изменив положение его вершин таким образом, чтобы рёбра не пересекались. Исходный и полученный графы будут изоморфны, то есть одинаковы с точки зрения теории графов, так как у них сохраняется то же количество вершин и те же связи между ними.

Исходный граф является полным двудольным графом, который обозначается как $K_{2,3}$. Он имеет 5 вершин, разделённых на две доли. В одной доле 2 вершины, в другой — 3. Каждая вершина из первой доли соединена с каждой вершиной из второй. Такой граф является планарным, что и позволяет изобразить его на плоскости без пересечений рёбер.

Решение:

Чтобы устранить пересечения, можно расположить вершины, принадлежащие разным долям, определённым образом.

1. Возьмём 3 вершины, которые в исходном рисунке находятся справа, и расположим их в один ряд по горизонтали.
2. Оставшиеся 2 вершины (те, что в исходном рисунке слева) разместим так: одну — над центральной вершиной горизонтального ряда, а другую — под ней.
3. Теперь соединим верхнюю вершину с каждой из трёх вершин в ряду.
4. Аналогично соединим нижнюю вершину с каждой из трёх вершин в ряду.

При таком расположении вершин ни одно ребро не будет пересекать другое.

Ответ:

Изображение графа без пересечения рёбер представлено ниже.

На этом рисунке две вершины одной доли расположены сверху и снизу, а три вершины другой доли — в ряд между ними. Все связи сохранены, но пересечения рёбер отсутствуют.

245 Серия товарищеских матчей проводится до двух побед одной из команд в трёх матчах: если какая-то команда одержала две победы, то она объявляется победителем, и следующий матч уже не проводится. Можно ли считать число матчей случайной величиной? Какие значения может принимать эта случайная величина?

Можно ли считать число матчей случайной величиной?

Да, можно. Случайная величина — это переменная, значение которой представляет собой числовой исход некоторого случайного явления. В данном случае, серия матчей является случайным явлением, поскольку результат каждого матча заранее не известен.

Общее количество сыгранных матчей зависит от того, как будут распределяться победы между командами:
- Если одна команда выиграет первые два матча, серия закончится. Число матчей будет равно 2.
- Если после двух матчей счёт будет 1:1, то для определения победителя потребуется третий матч. Число матчей будет равно 3.

Поскольку итоговое количество матчей не зафиксировано и зависит от случайных исходов игр, оно является случайной величиной.

Ответ: Да, число матчей можно считать случайной величиной, так как оно принимает определённое числовое значение в зависимости от случайного исхода серии игр.

Какие значения может принимать эта случайная величина?

Пусть $X$ — случайная величина, равная количеству матчей в серии. Серия продолжается до двух побед одной из команд. Максимальное количество матчей — три. Рассмотрим все возможные варианты:

1. Сыграно 2 матча.
Это произойдет, если одна из команд выиграет первые две встречи подряд. Серия сразу же закончится со счетом 2:0. Следовательно, $X$ может быть равно 2.

2. Сыграно 3 матча.
Это произойдет, если после двух матчей счет будет ничейным — 1:1. В таком случае ни одна из команд еще не добилась двух побед, и для выявления победителя серии необходим третий, решающий матч. Победитель этого матча выиграет серию со счетом 2:1. Следовательно, $X$ может быть равно 3.

Другие значения невозможны:
- Меньше двух матчей быть не может, так как для победы в серии нужно одержать две победы.
- Больше трёх матчей быть не может по условию. Кроме того, после трёх игр победитель всегда определяется, так как счёт становится 2:1 в пользу одной из команд, и дальнейшие матчи не требуются.

Таким образом, случайная величина $X$ может принимать только два значения.

Ответ: Эта случайная величина может принимать значения 2 и 3.

246 Два шахматиста решили провести дружескую встречу до трёх побед в пяти партиях. Какие значения может принимать случайная величина «число сыгранных партий»?

Пусть $X$ — это случайная величина, равная количеству сыгранных партий. Согласно условию, матч играется до трех побед одного из участников, при этом общее число партий не может превышать пяти. Проанализируем возможные значения для $X$.

Наименьшее число партий, которое может быть сыграно, — это 3. Такой исход возможен, если один из шахматистов выигрывает первые три партии подряд. В этом случае он набирает 3 победы, и матч завершается со счетом 3:0. Таким образом, $X=3$ является возможным значением.

Матч может состоять из 4 партий. Это произойдет, если победитель одержит свою третью победу в четвертой партии. Для этого необходимо, чтобы после трех партий счет по победам был 2:1 в пользу будущего победителя. Четвертая партия, выигранная им, доводит его счет до 3 побед и завершает матч. Итоговый счет становится 3:1. Следовательно, $X=4$ является возможным значением.

Матч может продлиться все 5 партий. Это произойдет, если после четырех сыгранных партий ни один из игроков еще не набрал трех побед. Например, если счет по победам после четырех партий — 2:2. Тогда для определения победителя (который должен набрать 3 победы) необходима пятая партия. Также, если в партиях возможны ничьи, матч может дойти до 5 партий, и при этом ни один из игроков не достигнет трех побед (например, счет по победам 2:1 и 2 ничьи). В любом из этих сценариев общее число сыгранных партий будет равно 5, так как это максимальное количество по условию. Значит, $X=5$ также является возможным значением.

Число партий не может быть меньше 3, поскольку для победы в матче требуется 3 выигранные партии. Также число партий не может быть больше 5, так как это ограничение, установленное условием задачи.

Таким образом, случайная величина «число сыгранных партий» может принимать значения 3, 4 или 5.

Ответ: 3, 4, 5.

247 В моментальной лотерее участвуют три типа билетов: без выигрыша (выигрыш 0 рублей), с выигрышем 20 рублей и с выигрышем 100 рублей. Можно ли считать выигрыш играющего случайной величиной? Какие значения может принимать эта величина, если играющий покупает:

Да, выигрыш играющего можно считать случайной величиной. Случайная величина — это переменная, значение которой является числовым исходом случайного события. В данном случае случайное событие — это покупка лотерейного билета, а его исход — сумма выигрыша, которая может быть разной. Поскольку заранее неизвестно, какой билет будет куплен, и каждому возможному исходу (типу билета) соответствует числовое значение выигрыша, то выигрыш является случайной величиной.

а) Если играющий покупает один билет, то его выигрыш может соответствовать одному из трех типов билетов. Таким образом, возможные значения выигрыша — это $0$ рублей (без выигрыша), $20$ рублей или $100$ рублей.

Ответ: $0, 20, 100$.

б) Если играющий покупает два билета, то его общий выигрыш будет равен сумме выигрышей по каждому из них. Пусть выигрыш по первому билету — $В_1$, а по второму — $В_2$. Возможные значения для $В_1$ и $В_2$ — это $\{0, 20, 100\}$. Чтобы найти все возможные значения общего выигрыша $В_{общ} = В_1 + В_2$, рассмотрим все уникальные комбинации сумм:

$0 + 0 = 0$ рублей
$0 + 20 = 20$ рублей
$0 + 100 = 100$ рублей
$20 + 20 = 40$ рублей
$20 + 100 = 120$ рублей
$100 + 100 = 200$ рублей

Таким образом, множество всех возможных значений общего выигрыша при покупке двух билетов состоит из полученных сумм.

Ответ: $0, 20, 40, 100, 120, 200$.

1 Что такое случайная величина?

Случайная величина — это одно из ключевых понятий теории вероятностей. Говоря простыми словами, это переменная, которая принимает числовые значения в зависимости от исхода случайного эксперимента. Точное значение, которое примет эта переменная, заранее предсказать невозможно, так как оно зависит от случая.

Более строгое математическое определение гласит: случайная величина $X$ — это функция, заданная на пространстве элементарных событий $\Omega$, которая каждому элементарному событию $\omega \in \Omega$ ставит в соответствие действительное число $X(\omega)$. Таким образом, случайная величина является числовой функцией от случайного исхода.

Случайные величины делятся на два основных типа:
1. Дискретные случайные величины (ДСВ). Это величины, которые могут принимать только отдельные, изолированные значения. Множество их возможных значений конечно или счётно.
Пример: число очков, выпавшее при броске игральной кости. Возможные значения: {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Пример: количество студентов, сдавших экзамен в группе из 25 человек. Возможные значения: {0, 1, 2, ..., 25}.

2. Непрерывные случайные величины (НСВ). Это величины, которые могут принимать любое значение из некоторого числового промежутка (конечного или бесконечного).
Пример: рост случайно выбранного человека. Это значение может быть любым числом в определённом диапазоне, например, от 150 см до 210 см.
Пример: время ожидания поезда. Оно может принимать любое неотрицательное значение.

Для полного описания случайной величины используется её закон распределения, который показывает, с какой вероятностью она принимает те или иные значения.

Ответ: Случайная величина — это числовая переменная, значение которой определяется исходом случайного эксперимента. Она может быть дискретной (принимает отдельные значения) или непрерывной (принимает любое значение из интервала).

2 Приведите два-три примера случайных величин, помимо тех, которые даны в тексте учебника. Вы можете легко найти примеры, вспомнив игры, в которые вы играете. Другие примеры можно найти при наблюдениях за погодой.

1. Сумма очков при броске двух игральных костей

В азартных и настольных играх часто используются игральные кости (кубики). Если бросить две стандартные шестигранные кости, то на каждой из них выпадет случайное число от 1 до 6. Сумма чисел на двух костях является случайной величиной, так как её значение заранее предсказать невозможно. Эта величина является дискретной, потому что она может принимать только конечное число целых значений. Минимальная сумма, которая может выпасть, это $1+1=2$, а максимальная — $6+6=12$. Таким образом, множество всех возможных значений этой случайной величины: $\{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}$.

Ответ: Случайная величина — сумма очков, выпавших при броске двух игральных костей.

2. Количество осадков за сутки

При наблюдении за погодой одной из важных характеристик является количество осадков (дождя, снега) в миллиметрах, выпавших за определенный период, например, за сутки. Это значение является случайной величиной, поскольку оно меняется изо дня в день непредсказуемым образом. Данная величина является непрерывной, так как количество осадков может принимать любое неотрицательное значение в некотором диапазоне, включая дробные (например, 5.7 мм или 0.25 мм).

Ответ: Случайная величина — количество осадков (в мм), выпавших в определенном месте за сутки.

3. Количество "орлов" при многократном подбрасывании монеты

Классическим примером случайного эксперимента является подбрасывание монеты. Если подбросить монету несколько раз, например 4 раза, то количество выпадений "орла" будет случайной величиной. Мы не знаем заранее, сколько раз выпадет "орел" — может ни одного, а может и все четыре. Это дискретная случайная величина, так как она может принимать только определенные целые значения. В данном случае возможные значения — это 0, 1, 2, 3 или 4. Множество возможных значений: $\{0, 1, 2, 3, 4\}$.

Ответ: Случайная величина — количество "орлов", выпавших при четырехкратном подбрасывании монеты.

3 Можно ли рассматривать школьную оценку как случайную величину? Приведите аргументы за и против.

Вопрос о том, можно ли рассматривать школьную оценку как случайную величину, является дискуссионным. Ответ зависит от точки зрения и контекста. Можно привести весомые аргументы как в пользу этого утверждения, так и против него.

Аргументы "за" (рассмотрение оценки как случайной величины)

• Неопределенность результата. До момента получения оценки (например, за контрольную работу) ее точное значение неизвестно. Результат зависит от множества факторов, которые сложно предсказать. Например, какой именно вариант заданий достанется ученику. Если ученик знает ответы на 80% всех возможных вопросов по теме, то вероятность получить вопрос, на который он знает ответ, можно рассматривать как вероятностное событие.
• Наличие случайных факторов. На оценку влияет множество слабо предсказуемых факторов:
  • Содержание контрольной работы или экзаменационного билета: Ученику могут попасться как "удачные", так и "неудачные" вопросы из всего объема изученного материала.
  • Физическое и эмоциональное состояние ученика: Самочувствие, настроение, уровень стресса в день ответа могут случайно повлиять на результат.
  • Субъективность проверяющего: Особенно в гуманитарных дисциплинах, оценка может частично зависеть от настроения, личных предпочтений и интерпретации ответа учителем.
  • Внешние условия: Случайные помехи во время ответа, нехватка времени и другие внешние обстоятельства.
• Применимость статистических методов. Оценки (одного ученика за период или группы учеников за одну работу) можно анализировать как статистическую выборку. Можно вычислить математическое ожидание (средний балл), дисперсию (разброс оценок), построить гистограмму распределения. Например, если $X$ — это оценка ученика, то можно оценить вероятности $P(X=5)$, $P(X=4)$ и т.д. Распределение оценок большого числа учащихся часто напоминает нормальное распределение, что является характеристикой случайных величин.

Аргументы "против" (оценка — не случайная величина)

• Детерминированность. Основной контраргумент заключается в том, что оценка — это не результат случайного процесса, а закономерный итог, определяемый уровнем знаний, умений и усилий ученика. Если бы мы обладали полной информацией обо всех факторах (уровень подготовки ученика, содержание работы, критерии проверки), то оценку можно было бы предсказать с высокой точностью. "Случайность" здесь — это лишь следствие нашего неполного знания.
• Отсутствие четко определенного случайного эксперимента. В теории вероятностей случайная величина связана с повторяемым случайным экспериментом (как бросок монеты). Учебный процесс не является таким экспериментом: ученик постоянно учится и меняет свой уровень знаний, темы меняются, условия контроля различны. Каждый раз "эксперимент" по получению оценки проводится в новых, уникальных условиях.
• Сильная причинно-следственная связь. Существует прямая и сильная связь между действиями ученика (учил/не учил, готовился/не готовился) и итоговой оценкой. Этот детерминированный компонент является доминирующим, а случайные факторы — лишь "шумом" или второстепенным влиянием.

Вывод

С точки зрения математической статистики и практики, школьную оценку можно и нужно рассматривать как случайную величину. Это полезная модель, которая позволяет применять мощный аппарат теории вероятностей и статистики для анализа данных в образовании, прогнозирования успеваемости и оценки качества тестов. Однако с философской и детерминистской точки зрения, оценка не является "истинно" случайной, а представляет собой результат сложного, многофакторного, но в своей основе причинно-обусловленного процесса.

Ответ: Да, школьную оценку можно рассматривать как случайную величину в рамках статистической модели, поскольку на нее влияет множество непредсказуемых факторов, и ее значение заранее неизвестно. Однако важно помнить, что эта "случайность" во многом обусловлена неполнотой информации, а доминирующим фактором остается уровень подготовки ученика.

4 Приведите пример дискретной и пример непрерывной случайной величины помимо тех, что даны в тексте.

Пример дискретной случайной величины

Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные друг от друга значения. Множество ее возможных значений является конечным или счетным. Как правило, такие величины являются результатом счета чего-либо.

В качестве примера можно рассмотреть количество опечаток на случайно выбранной странице книги. Эта величина может принимать только целые неотрицательные значения: $0, 1, 2, 3, \ldots$. Не может быть $2.5$ опечатки. Множество возможных значений можно пересчитать, хоть оно и не ограничено сверху теоретически.

Ответ: Количество опечаток на странице книги.

Пример непрерывной случайной величины

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать любое значение из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Множество ее возможных значений является несчетным. Как правило, такие величины являются результатом измерения.

В качестве примера можно привести время, которое требуется спортсмену, чтобы пробежать дистанцию в 100 метров. Это время может принимать любое действительное значение в некотором диапазоне, например, от 9.5 до 12 секунд. Между любыми двумя возможными значениями времени, например, $10.1$ и $10.2$ секунды, существует бесконечное множество других возможных значений (например, $10.15$ с, $10.151$ с и так далее). Точность значения ограничена лишь возможностями измерительного прибора (секундомера).

Ответ: Время, затраченное спортсменом на пробег 100-метровой дистанции.