Страница 78, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник часть 1, 2 Высоцкий, Ященко

235 В некотором испытании Бернулли успех наступает с вероятностью $p = 0,5$.

Найдите вероятность того, что в серии из 4 таких испытаний:

а) наступит ровно 2 успеха;

б) наступит ровно 1 успех;

в) наступит ровно 3 успеха;

г) все испытания окончатся неудачей.

Для решения этой задачи используется формула Бернулли, которая определяет вероятность наступления ровно $k$ успехов в серии из $n$ независимых испытаний:

$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$

где:

• $n$ — общее число испытаний,
• $k$ — число ожидаемых успехов,
• $p$ — вероятность успеха в одном испытании,
• $q$ — вероятность неудачи в одном испытании ($q = 1 - p$),
• $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний (биномиальный коэффициент).

Согласно условию задачи, у нас есть:

• Число испытаний: $n = 4$.
• Вероятность успеха: $p = 0.5$.
• Вероятность неудачи: $q = 1 - p = 1 - 0.5 = 0.5$.

Так как $p=q=0.5$, то $p^k \cdot q^{n-k} = (0.5)^k \cdot (0.5)^{n-k} = (0.5)^{k+n-k} = (0.5)^n$. В нашем случае это $(0.5)^4$.

а) наступит ровно 2 успеха

Требуется найти вероятность для $k=2$.

Сначала вычислим биномиальный коэффициент $C_4^2$:

$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{24}{2 \cdot 2} = 6$.

Теперь вычислим вероятность:

$P_4(2) = C_4^2 \cdot (0.5)^2 \cdot (0.5)^{4-2} = 6 \cdot (0.5)^4 = 6 \cdot 0.0625 = 0.375$.

Ответ: $0.375$

б) наступит ровно 1 успех

Требуется найти вероятность для $k=1$.

Вычислим биномиальный коэффициент $C_4^1$:

$C_4^1 = \frac{4!}{1!(4-1)!} = \frac{4!}{1!3!} = 4$.

Теперь вычислим вероятность:

$P_4(1) = C_4^1 \cdot (0.5)^1 \cdot (0.5)^{4-1} = 4 \cdot (0.5)^4 = 4 \cdot 0.0625 = 0.25$.

Ответ: $0.25$

в) наступит ровно 3 успеха

Требуется найти вероятность для $k=3$.

Вычислим биномиальный коэффициент $C_4^3$:

$C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3!1!} = 4$.

Теперь вычислим вероятность:

$P_4(3) = C_4^3 \cdot (0.5)^3 \cdot (0.5)^{4-3} = 4 \cdot (0.5)^4 = 4 \cdot 0.0625 = 0.25$.

Ответ: $0.25$

г) все испытания окончатся неудачей

Это означает, что наступит ровно 0 успехов ($k=0$).

Вычислим биномиальный коэффициент $C_4^0$:

$C_4^0 = \frac{4!}{0!(4-0)!} = \frac{4!}{0!4!} = 1$.

Теперь вычислим вероятность:

$P_4(0) = C_4^0 \cdot (0.5)^0 \cdot (0.5)^{4-0} = 1 \cdot (0.5)^4 = 1 \cdot 0.0625 = 0.0625$.

Ответ: $0.0625$

236 Найдите вероятность появления ровно трёх орлов, если монету бросают:

а) 3 раза;

б) 7 раз;

в) 9 раз;

г) n раз.

Для решения данной задачи используется формула Бернулли, которая определяет вероятность получения ровно $k$ успехов в $n$ независимых испытаниях.

$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$

В контексте нашей задачи:

• $n$ — это общее количество бросков монеты.
• $k$ — это количество выпадений орла, которое по условию равно 3 ($k=3$).
• $p$ — вероятность выпадения орла при одном броске. Для симметричной монеты $p = 1/2$.
• $1-p$ — вероятность выпадения решки, которая также равна $1/2$.
• $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальный коэффициент, показывающий число способов выбрать $k$ элементов из $n$ без учёта порядка.

Поскольку $p = 1-p = 1/2$, формула для нашего случая ($k=3$) упрощается:

$P_n(3) = C_n^3 \cdot (1/2)^3 \cdot (1/2)^{n-3} = C_n^3 \cdot (1/2)^{n} = \frac{C_n^3}{2^n}$

Теперь решим каждый подпункт, используя эту формулу.

а) 3 раза

В этом случае общее число бросков $n = 3$, и нам нужно найти вероятность выпадения ровно $k=3$ орлов.

Общее количество всех возможных исходов при 3 бросках равно $2^3 = 8$.

Количество благоприятных исходов (выпадение трёх орлов подряд) равно $C_3^3$.

$C_3^3 = \frac{3!}{3!(3-3)!} = \frac{3!}{3!0!} = 1$ (по определению $0!=1$).

Таким образом, существует только один способ получить три орла из трёх бросков.

Вероятность этого события равна:

$P_3(3) = \frac{C_3^3}{2^3} = \frac{1}{8}$

Ответ: $\frac{1}{8}$

б) 7 раз

Здесь общее число бросков $n = 7$, а необходимое число орлов $k=3$.

Общее количество исходов равно $2^7 = 128$.

Количество способов, которыми могут выпасть ровно 3 орла в серии из 7 бросков, равно $C_7^3$.

$C_7^3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 7 \cdot 5 = 35$.

Вероятность события равна:

$P_7(3) = \frac{C_7^3}{2^7} = \frac{35}{128}$

Ответ: $\frac{35}{128}$

в) 9 раз

При $n=9$ бросках и $k=3$ орлах, общее число исходов равно $2^9 = 512$.

Найдём количество благоприятных исходов $C_9^3$.

$C_9^3 = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 3 \cdot 4 \cdot 7 = 84$.

Вероятность равна:

$P_9(3) = \frac{C_9^3}{2^9} = \frac{84}{512}$

Эту дробь можно сократить, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 4.

$\frac{84 \div 4}{512 \div 4} = \frac{21}{128}$

Ответ: $\frac{21}{128}$

г) n раз

В общем случае, когда монету бросают $n$ раз, вероятность выпадения ровно трёх орлов вычисляется по той же формуле $P_n(3) = \frac{C_n^3}{2^n}$.

Выразим биномиальный коэффициент $C_n^3$ в общем виде:

$C_n^3 = \frac{n!}{3!(n-3)!} = \frac{n(n-1)(n-2)}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$

Данное выражение справедливо при $n \ge 3$. Если $n < 3$ (т.е. $n=0, 1, 2$), то получить 3 орла невозможно, и вероятность равна 0. Формула $\frac{n(n-1)(n-2)}{6}$ также даёт 0 для этих значений $n$, поэтому она является универсальной.

Подставим это выражение в формулу вероятности:

$P_n(3) = \frac{n(n-1)(n-2)/6}{2^n} = \frac{n(n-1)(n-2)}{6 \cdot 2^n}$

Ответ: $\frac{n(n-1)(n-2)}{6 \cdot 2^n}$

237 Игральную кость бросают 6 раз. Найдите вероятность того, что шестёрка выпадет:

а) 3 раза;

б) 5 раз;

в) 1 раз;

г) 6 раз;

д) 2 раза;

е) ни разу.

Данная задача решается с помощью формулы Бернулли для последовательности независимых испытаний. Вероятность того, что в $n$ независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность наступления события $A$ равна $p$, это событие наступит ровно $k$ раз, вычисляется по формуле:

$P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$

где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальный коэффициент (число сочетаний из $n$ по $k$), а $q = 1-p$ — вероятность ненаступления события $A$.

В данном случае:

- число испытаний $n = 6$ (кость бросают 6 раз);

- событие "успеха" — выпадение шестёрки;

- вероятность успеха в одном испытании $p = \frac{1}{6}$;

- вероятность "неудачи" (невыпадения шестёрки) в одном испытании $q = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.

а) 3 раза

Ищем вероятность того, что шестёрка выпадет ровно $k=3$ раза.$P_6(3) = C_6^3 \cdot (\frac{1}{6})^3 \cdot (\frac{5}{6})^{6-3} = C_6^3 \cdot (\frac{1}{6})^3 \cdot (\frac{5}{6})^3$.

Число сочетаний $C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20$.

Тогда вероятность равна $P_6(3) = 20 \cdot \frac{1^3 \cdot 5^3}{6^6} = 20 \cdot \frac{125}{46656} = \frac{2500}{46656}$.

Сократив дробь на 4, получаем $\frac{625}{11664}$.
Ответ: $\frac{625}{11664}$.

б) 5 раз

Ищем вероятность того, что шестёрка выпадет ровно $k=5$ раз.$P_6(5) = C_6^5 \cdot (\frac{1}{6})^5 \cdot (\frac{5}{6})^{6-5} = C_6^5 \cdot (\frac{1}{6})^5 \cdot \frac{5}{6}$.

Число сочетаний $C_6^5 = \frac{6!}{5!(6-5)!} = 6$.

Вероятность равна $P_6(5) = 6 \cdot \frac{1^5 \cdot 5^1}{6^6} = \frac{30}{46656}$.

Сократив дробь на 6, получаем $\frac{5}{7776}$.
Ответ: $\frac{5}{7776}$.

в) 1 раз

Ищем вероятность того, что шестёрка выпадет ровно $k=1$ раз.$P_6(1) = C_6^1 \cdot (\frac{1}{6})^1 \cdot (\frac{5}{6})^{6-1} = C_6^1 \cdot \frac{1}{6} \cdot (\frac{5}{6})^5$.

Число сочетаний $C_6^1 = \frac{6!}{1!(6-1)!} = 6$.

Вероятность равна $P_6(1) = 6 \cdot \frac{1}{6} \cdot (\frac{5}{6})^5 = (\frac{5}{6})^5 = \frac{3125}{7776}$.
Ответ: $\frac{3125}{7776}$.

г) 6 раз

Ищем вероятность того, что шестёрка выпадет ровно $k=6$ раз.$P_6(6) = C_6^6 \cdot (\frac{1}{6})^6 \cdot (\frac{5}{6})^{6-6} = 1 \cdot (\frac{1}{6})^6 \cdot 1$.

Вероятность равна $P_6(6) = \frac{1^6}{6^6} = \frac{1}{46656}$.
Ответ: $\frac{1}{46656}$.

д) 2 раза

Ищем вероятность того, что шестёрка выпадет ровно $k=2$ раза.$P_6(2) = C_6^2 \cdot (\frac{1}{6})^2 \cdot (\frac{5}{6})^{6-2} = C_6^2 \cdot (\frac{1}{6})^2 \cdot (\frac{5}{6})^4$.

Число сочетаний $C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15$.

Вероятность равна $P_6(2) = 15 \cdot \frac{1^2 \cdot 5^4}{6^6} = 15 \cdot \frac{625}{46656} = \frac{9375}{46656}$.

Сократив дробь на 3, получаем $\frac{3125}{15552}$.
Ответ: $\frac{3125}{15552}$.

е) ни разу

Ищем вероятность того, что шестёрка не выпадет ни разу ($k=0$).$P_6(0) = C_6^0 \cdot (\frac{1}{6})^0 \cdot (\frac{5}{6})^{6-0} = 1 \cdot 1 \cdot (\frac{5}{6})^6$.

Вероятность равна $P_6(0) = (\frac{5}{6})^6 = \frac{5^6}{6^6} = \frac{15625}{46656}$.
Ответ: $\frac{15625}{46656}$.

238 Перед началом футбольного матча судья бросает монету, чтобы определить, какая команда первой будет владеть мячом. Найдите вероятность того, что в трёх матчах, которые команда «Стартёр» проводит с другими командами, мяч каждый раз будет доставаться именно этой команде.

Для определения, какая команда первой будет владеть мячом, бросается монета. У этого события есть два равновероятных исхода: орёл или решка. Таким образом, для каждой из команд вероятность получить мяч первой в одном матче составляет $1/2$ или $0.5$.

Нам нужно найти вероятность того, что команда «Стартёр» будет начинать с мячом в трёх матчах подряд. Поскольку результаты подбрасывания монеты в каждом матче являются независимыми событиями (результат одного броска не влияет на результат другого), вероятность совместного наступления этих событий равна произведению их индивидуальных вероятностей.

Пусть событие $A_1$ — команда «Стартёр» получает мяч в первом матче, $P(A_1) = 0.5$.
Событие $A_2$ — команда «Стартёр» получает мяч во втором матче, $P(A_2) = 0.5$.
Событие $A_3$ — команда «Стартёр» получает мяч в третьем матче, $P(A_3) = 0.5$.

Вероятность того, что все три события произойдут, равна произведению их вероятностей: $P(A_1 \cap A_2 \cap A_3) = P(A_1) \cdot P(A_2) \cdot P(A_3)$

$P = 0.5 \cdot 0.5 \cdot 0.5 = 0.5^3 = 0.125$

Это можно также представить в виде обыкновенных дробей: $P = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8} = 0.125$

Ответ: 0.125.

239 Случайный эксперимент заключается в пятикратном бросании симметричной монеты. Найдите вероятность события:

а) «решка выпадет ровно 3 раза»;

б) «орёл выпадет от двух до четырёх раз»;

в) «решка выпадет либо 1 раз, либо 3 раза»;

г) «орёл выпадет нечётное число раз».

Случайный эксперимент состоит в пятикратном бросании симметричной монеты. Это серия из $n=5$ независимых испытаний, в каждом из которых есть два равновероятных исхода: орёл (О) или решка (Р). Вероятность выпадения орла $p=0.5$ и решки $q=0.5$.

Общее число всех возможных и равновероятных исходов эксперимента равно $N = 2^n = 2^5 = 32$.

Вероятность любого события $A$ вычисляется по формуле $P(A) = \frac{m}{N}$, где $m$ — число благоприятствующих этому событию исходов. Число исходов, при которых некоторое событие (например, выпадение решки) происходит ровно $k$ раз в $n$ испытаниях, находится по формуле числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

В данном случае $n=5$ (всего бросков) и $k=3$ (количество выпадений решки).Число благоприятствующих исходов — это количество способов, которыми могут выпасть 3 решки в 5 бросках:$m = C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{4 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 10$.

Вероятность этого события равна:$P = \frac{m}{N} = \frac{10}{32} = \frac{5}{16}$.

Ответ: $\frac{5}{16}$

Это событие объединяет три несовместных исхода: орёл выпадет 2 раза, 3 раза или 4 раза.Найдём число благоприятствующих исходов для каждого случая:

Число исходов для 2 орлов ($k=2$): $m_2 = C_5^2 = \frac{5!}{2!3!} = 10$.
Число исходов для 3 орлов ($k=3$): $m_3 = C_5^3 = \frac{5!}{3!2!} = 10$.
Число исходов для 4 орлов ($k=4$): $m_4 = C_5^4 = \frac{5!}{4!1!} = 5$.

Суммарное число благоприятствующих исходов: $m = m_2 + m_3 + m_4 = 10 + 10 + 5 = 25$.Вероятность этого события равна:$P = \frac{m}{N} = \frac{25}{32}$.

Ответ: $\frac{25}{32}$

Это событие объединяет два несовместных исхода: решка выпадет 1 раз или 3 раза.

Число исходов для 1 решки ($k=1$): $m_1 = C_5^1 = \frac{5!}{1!4!} = 5$.
Число исходов для 3 решек ($k=3$): $m_3 = C_5^3 = \frac{5!}{3!2!} = 10$.

Суммарное число благоприятствующих исходов: $m = m_1 + m_3 = 5 + 10 = 15$.Вероятность этого события равна:$P = \frac{m}{N} = \frac{15}{32}$.

Ответ: $\frac{15}{32}$

Это событие объединяет несовместные исходы, когда орёл выпадает нечётное число раз: 1, 3 или 5 раз.

Число исходов для 1 орла ($k=1$): $m_1 = C_5^1 = \frac{5!}{1!4!} = 5$.
Число исходов для 3 орлов ($k=3$): $m_3 = C_5^3 = \frac{5!}{3!2!} = 10$.
Число исходов для 5 орлов ($k=5$): $m_5 = C_5^5 = \frac{5!}{5!0!} = 1$.

Суммарное число благоприятствующих исходов: $m = m_1 + m_3 + m_5 = 5 + 10 + 1 = 16$.Вероятность этого события равна:$P = \frac{m}{N} = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

240 Стрелок три раза стреляет по мишени. Вероятность попадания при каждом отдельном выстреле равна 0,74. Какова вероятность события:

а) «цель не будет поражена ни разу»;

б) «все три выстрела попадут в цель»?

Пусть $p$ — вероятность попадания в мишень при одном выстреле, а $q$ — вероятность промаха. По условию, $p = 0,74$.

События «попадание» и «промах» являются противоположными, поэтому сумма их вероятностей равна 1. Вероятность промаха при одном выстреле: $q = 1 - p = 1 - 0,74 = 0,26$.

Выстрелы являются независимыми событиями, поэтому вероятность комбинации исходов равна произведению вероятностей исхода каждого выстрела.

Это событие означает, что стрелок промахнулся все три раза. Вероятность этого события равна произведению вероятностей трех промахов.

$P(\text{3 промаха}) = q \times q \times q = q^3$

$P(\text{3 промаха}) = (0,26)^3 = 0,26 \times 0,26 \times 0,26 = 0,017576$.

Ответ: $0,017576$.

Это событие означает, что стрелок попал в цель все три раза. Вероятность этого события равна произведению вероятностей трех попаданий.

$P(\text{3 попадания}) = p \times p \times p = p^3$

$P(\text{3 попадания}) = (0,74)^3 = 0,74 \times 0,74 \times 0,74 = 0,405224$.

Ответ: $0,405224$.

241 В некотором испытании Бернулли неудача наступает с вероятностью $q = \frac{1}{3}$.

Найдите вероятность того, что в серии из 5 таких испытаний:

а) наступит ровно 2 успеха;

б) наступит ровно 1 успех;

в)* наступит более 2 успехов;

г)* наступит менее 4 успехов.

Данная задача описывает серию из $n=5$ независимых испытаний Бернулли. Вероятность неудачи в одном испытании равна $q = \frac{1}{3}$.

Вероятность успеха $p$ в одном испытании можно найти как $p = 1 - q = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.

Вероятность того, что в $n$ испытаниях произойдет ровно $k$ успехов, вычисляется по формуле Бернулли:$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний.

В нашем случае формула принимает вид:$P_5(k) = C_5^k \cdot (\frac{2}{3})^k \cdot (\frac{1}{3})^{5-k}$.

а) наступит ровно 2 успеха

Нам нужно найти вероятность для $k=2$. Подставляем значения в формулу Бернулли:

$P_5(2) = C_5^2 \cdot (\frac{2}{3})^2 \cdot (\frac{1}{3})^{5-2}$

Вычислим число сочетаний: $C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{4 \cdot 5}{2} = 10$.

Теперь вычислим вероятность:$P_5(2) = 10 \cdot (\frac{2}{3})^2 \cdot (\frac{1}{3})^3 = 10 \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{27} = \frac{40}{243}$.

Ответ: $\frac{40}{243}$

б) наступит ровно 1 успех

Нам нужно найти вероятность для $k=1$. Подставляем значения в формулу:

$P_5(1) = C_5^1 \cdot (\frac{2}{3})^1 \cdot (\frac{1}{3})^{5-1}$

Вычислим число сочетаний: $C_5^1 = \frac{5!}{1!(5-1)!} = \frac{5!}{1!4!} = 5$.

Теперь вычислим вероятность:$P_5(1) = 5 \cdot \frac{2}{3} \cdot (\frac{1}{3})^4 = 5 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{81} = \frac{10}{243}$.

Ответ: $\frac{10}{243}$

в)* наступит более 2 успехов

Событие "наступит более 2 успехов" означает, что число успехов $k$ может быть 3, 4 или 5. Вероятность этого события равна сумме вероятностей каждого из этих исходов:

$P(k>2) = P_5(3) + P_5(4) + P_5(5)$

Вычислим каждую вероятность по отдельности:

$P_5(3) = C_5^3 \cdot (\frac{2}{3})^3 \cdot (\frac{1}{3})^2 = 10 \cdot \frac{8}{27} \cdot \frac{1}{9} = \frac{80}{243}$

$P_5(4) = C_5^4 \cdot (\frac{2}{3})^4 \cdot (\frac{1}{3})^1 = 5 \cdot \frac{16}{81} \cdot \frac{1}{3} = \frac{80}{243}$

$P_5(5) = C_5^5 \cdot (\frac{2}{3})^5 \cdot (\frac{1}{3})^0 = 1 \cdot \frac{32}{243} \cdot 1 = \frac{32}{243}$

Сложим полученные вероятности:$P(k>2) = \frac{80}{243} + \frac{80}{243} + \frac{32}{243} = \frac{192}{243}$.

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:$\frac{192}{243} = \frac{64}{81}$.

Ответ: $\frac{64}{81}$

г)* наступит менее 4 успехов

Событие "наступит менее 4 успехов" ($k<4$) является противоположным событию "наступит 4 или 5 успехов" ($k \ge 4$). Проще найти вероятность противоположного события и вычесть ее из 1.

$P(k<4) = 1 - P(k \ge 4) = 1 - (P_5(4) + P_5(5))$

Вероятности $P_5(4)$ и $P_5(5)$ мы уже вычислили в предыдущем пункте:

$P_5(4) = \frac{80}{243}$

$P_5(5) = \frac{32}{243}$

Найдем их сумму:$P(k \ge 4) = \frac{80}{243} + \frac{32}{243} = \frac{112}{243}$.

Теперь найдем искомую вероятность:$P(k<4) = 1 - \frac{112}{243} = \frac{243 - 112}{243} = \frac{131}{243}$.

Ответ: $\frac{131}{243}$

242 В некотором испытании Бернулли успех наступает с вероятностью $p = 0,4$.

Найдите вероятность того, что в серии из 4 таких испытаний:

а) наступит более 2 успехов;

б) наступит не более 2 неудач;

в) не все испытания окончатся неудачей;

г) наступит менее 4 успехов.

В данной задаче рассматривается схема испытаний Бернулли. Общее число независимых испытаний $n = 4$. Вероятность «успеха» в одном испытании $p = 0.4$. Следовательно, вероятность «неудачи» в одном испытании $q = 1 - p = 1 - 0.4 = 0.6$. Вероятность того, что в $n$ испытаниях событие наступит ровно $k$ раз, вычисляется по формуле Бернулли: $P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний из $n$ по $k$.

а) наступит более 2 успехов
Это событие означает, что в серии из 4 испытаний произойдет либо 3 успеха, либо 4 успеха. Вероятность этого события равна сумме вероятностей $P_4(3)$ и $P_4(4)$.
Найдем вероятность 3 успехов: $P_4(3) = C_4^3 \cdot p^3 \cdot q^{4-3} = \frac{4!}{3!1!} \cdot (0.4)^3 \cdot (0.6)^1 = 4 \cdot 0.064 \cdot 0.6 = 0.1536$.
Найдем вероятность 4 успехов: $P_4(4) = C_4^4 \cdot p^4 \cdot q^{4-4} = \frac{4!}{4!0!} \cdot (0.4)^4 \cdot (0.6)^0 = 1 \cdot 0.0256 \cdot 1 = 0.0256$.
Суммарная вероятность: $P(k > 2) = P_4(3) + P_4(4) = 0.1536 + 0.0256 = 0.1792$.
Ответ: 0.1792

б) наступит не более 2 неудач
Это событие означает, что число неудач может быть 0, 1 или 2. Это эквивалентно тому, что число успехов будет 4, 3 или 2 (поскольку $k_{успехов} = n - m_{неудач} = 4 - m_{неудач}$). Таким образом, нам нужно найти вероятность того, что наступит 2, 3 или 4 успеха: $P(k \ge 2) = P_4(2) + P_4(3) + P_4(4)$.
Вероятности для 3 и 4 успехов мы уже нашли в пункте а): $P_4(3) = 0.1536$ и $P_4(4) = 0.0256$.
Найдем вероятность 2 успехов: $P_4(2) = C_4^2 \cdot p^2 \cdot q^{4-2} = \frac{4!}{2!2!} \cdot (0.4)^2 \cdot (0.6)^2 = 6 \cdot 0.16 \cdot 0.36 = 0.3456$.
Суммарная вероятность: $P(k \ge 2) = P_4(2) + P_4(3) + P_4(4) = 0.3456 + 0.1536 + 0.0256 = 0.5248$.
Ответ: 0.5248

в) не все испытания окончатся неудачей
Это событие является противоположным (дополнительным) к событию «все испытания окончатся неудачей». Событие «все 4 испытания окончатся неудачей» означает, что наступит 0 успехов.
Найдем вероятность 0 успехов: $P_4(0) = C_4^0 \cdot p^0 \cdot q^{4-0} = \frac{4!}{0!4!} \cdot (0.4)^0 \cdot (0.6)^4 = 1 \cdot 1 \cdot 0.1296 = 0.1296$.
Вероятность искомого события равна разности между 1 и вероятностью противоположного события: $P = 1 - P_4(0) = 1 - 0.1296 = 0.8704$.
Ответ: 0.8704

г) наступит менее 4 успехов
Это событие означает, что число успехов может быть 0, 1, 2 или 3. Оно является противоположным к событию «наступит ровно 4 успеха».
Вероятность наступления 4 успехов мы нашли в пункте а): $P_4(4) = 0.0256$.
Тогда искомая вероятность равна разности между 1 и вероятностью противоположного события: $P(k < 4) = 1 - P_4(4) = 1 - 0.0256 = 0.9744$.
Ответ: 0.9744

243 Перед началом шахматной партии с помощью жребия игроки определяют, кто играет белыми, а кто — чёрными. Остап Бендер проводит сеанс одновременной игры с любителями шахмат города Васюки на 12 досках. Найдите вероятность того, что он будет играть белыми:

а) ровно на 3 досках;

б) ровно на 5 досках;

в) хотя бы на 1 доске;

г) по крайней мере на 2 досках.

Данная задача описывает серию из $n=12$ независимых испытаний (шахматных партий). В каждом испытании есть два равновероятных исхода: "успех" (Остап Бендер играет белыми) и "неудача" (Остап Бендер играет чёрными). Поскольку выбор цвета определяется жребием, вероятность успеха $p=0.5$ и вероятность неудачи $q=1-p=0.5$.

Для нахождения вероятности того, что событие "успех" произойдет ровно $k$ раз в $n$ испытаниях, используется формула Бернулли:$P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$

В нашем случае, при $n=12$ и $p=q=0.5$, формула принимает вид:$P_{12}(k) = C_{12}^k (0.5)^k (0.5)^{12-k} = C_{12}^k (0.5)^{12} = \frac{C_{12}^k}{2^{12}} = \frac{C_{12}^k}{4096}$

а) ровно на 3 досках

Найдём вероятность того, что Остап будет играть белыми ровно на $k=3$ досках. Для этого вычислим число сочетаний $C_{12}^3$:$C_{12}^3 = \frac{12!}{3!(12-3)!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 2 \cdot 11 \cdot 10 = 220$.

Теперь подставим это значение в формулу вероятности:$P_{12}(3) = \frac{C_{12}^3}{4096} = \frac{220}{4096}$.

Сократив дробь, получаем $\frac{55}{1024}$.

Ответ: $\frac{55}{1024}$

б) ровно на 5 досках

Найдём вероятность того, что Остап будет играть белыми ровно на $k=5$ досках. Вычислим число сочетаний $C_{12}^5$:$C_{12}^5 = \frac{12!}{5!(12-5)!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$.

Сократим множители: $10$ в числителе с $5 \cdot 2$ в знаменателе, и $12$ в числителе с $4 \cdot 3$ в знаменателе. Получим: $C_{12}^5 = 11 \cdot 9 \cdot 8 = 792$.

Вероятность $P_{12}(5)$ равна:$P_{12}(5) = \frac{C_{12}^5}{4096} = \frac{792}{4096}$.

Сократив дробь на 8, получаем $\frac{99}{512}$.

Ответ: $\frac{99}{512}$

в) хотя бы на 1 доске

Событие "хотя бы на 1 доске" ($k \ge 1$) является противоположным событию "ни на одной доске" ($k=0$). Вероятность этого события проще найти через вероятность противоположного события: $P(k \ge 1) = 1 - P(k=0)$.

Сначала вычислим вероятность $P_{12}(0)$. Число сочетаний $C_{12}^0 = 1$.$P_{12}(0) = \frac{C_{12}^0}{4096} = \frac{1}{4096}$.

Теперь найдём искомую вероятность:$P(k \ge 1) = 1 - \frac{1}{4096} = \frac{4096 - 1}{4096} = \frac{4095}{4096}$.

Ответ: $\frac{4095}{4096}$

г) по крайней мере на 2 досках

Событие "по крайней мере на 2 досках" ($k \ge 2$) является противоположным событию "менее чем на 2 досках", то есть "на 0 досках или на 1 доске" ($k=0$ или $k=1$). Вероятность можно найти как: $P(k \ge 2) = 1 - P(k < 2) = 1 - (P(k=0) + P(k=1))$.

Вероятность $P_{12}(0)$ мы уже нашли: $P_{12}(0) = \frac{1}{4096}$.Теперь вычислим вероятность $P_{12}(1)$. Число сочетаний $C_{12}^1 = 12$.$P_{12}(1) = \frac{C_{12}^1}{4096} = \frac{12}{4096}$.

Сумма вероятностей для $k=0$ и $k=1$:$P(k < 2) = P_{12}(0) + P_{12}(1) = \frac{1}{4096} + \frac{12}{4096} = \frac{13}{4096}$.

Наконец, вычисляем искомую вероятность:$P(k \ge 2) = 1 - P(k < 2) = 1 - \frac{13}{4096} = \frac{4096 - 13}{4096} = \frac{4083}{4096}$.

Ответ: $\frac{4083}{4096}$

244 Олег задали 10 одинаковых по трудности задач. Вероятность того, что Олег решит каждую отдельную задачу, равна 0,75. Найдите вероятность того, что Олег решит:

а) все задачи;

б) не менее 8 задач;

в) не менее 6 задач.

Данная задача описывается схемой Бернулли, поскольку представляет собой серию независимых испытаний (решение каждой задачи) с двумя возможными исходами (задача решена или не решена), причем вероятность успеха (решения задачи) в каждом испытании постоянна.

Обозначим:

$n$ - общее количество испытаний (задач), $n=10$.
$p$ - вероятность успеха в одном испытании (решить задачу), $p = 0,75 = \frac{3}{4}$.
$q$ - вероятность неудачи в одном испытании (не решить задачу), $q = 1 - p = 1 - 0,75 = 0,25 = \frac{1}{4}$.
$k$ - количество успехов (решенных задач).

Вероятность того, что Олег решит ровно $k$ задач из $n$, вычисляется по формуле Бернулли:

$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ - число сочетаний.

а) все задачи

Это событие означает, что Олег решит ровно 10 задач, то есть $k=10$. Найдем вероятность этого события.

$P_{10}(10) = C_{10}^{10} \cdot p^{10} \cdot q^{10-10} = 1 \cdot (0,75)^{10} \cdot (0,25)^0 = (0,75)^{10}$

Вычислим значение:

$P_{10}(10) = (\frac{3}{4})^{10} = \frac{3^{10}}{4^{10}} = \frac{59049}{1048576} \approx 0,0563$

Ответ: $\approx 0,0563$

б) не менее 8 задач

Это событие означает, что Олег решит 8, 9 или 10 задач. Вероятность этого события равна сумме вероятностей каждого из этих исходов:

$P(k \ge 8) = P_{10}(8) + P_{10}(9) + P_{10}(10)$

Вероятность $P_{10}(10)$ уже найдена в пункте а). Вычислим остальные слагаемые:

$P_{10}(8) = C_{10}^8 \cdot (0,75)^8 \cdot (0,25)^2 = \frac{10!}{8!2!} \cdot (\frac{3}{4})^8 \cdot (\frac{1}{4})^2 = 45 \cdot \frac{3^8}{4^8 \cdot 4^2} = 45 \cdot \frac{6561}{4^{10}} = \frac{295245}{1048576}$

$P_{10}(9) = C_{10}^9 \cdot (0,75)^9 \cdot (0,25)^1 = \frac{10!}{9!1!} \cdot (\frac{3}{4})^9 \cdot (\frac{1}{4})^1 = 10 \cdot \frac{3^9}{4^9 \cdot 4^1} = 10 \cdot \frac{19683}{4^{10}} = \frac{196830}{1048576}$

Теперь сложим вероятности:

$P(k \ge 8) = \frac{295245}{1048576} + \frac{196830}{1048576} + \frac{59049}{1048576} = \frac{295245 + 196830 + 59049}{1048576} = \frac{551124}{1048576} \approx 0,5256$

Ответ: $\approx 0,5256$

в) не менее 6 задач

Это событие означает, что Олег решит 6, 7, 8, 9 или 10 задач. Вероятность этого события равна сумме вероятностей:

$P(k \ge 6) = P_{10}(6) + P_{10}(7) + P_{10}(8) + P_{10}(9) + P_{10}(10) = P_{10}(6) + P_{10}(7) + P(k \ge 8)$

Вероятность $P(k \ge 8)$ мы нашли в пункте б). Вычислим недостающие слагаемые:

$P_{10}(6) = C_{10}^6 \cdot (0,75)^6 \cdot (0,25)^4 = \frac{10!}{6!4!} \cdot (\frac{3}{4})^6 \cdot (\frac{1}{4})^4 = 210 \cdot \frac{3^6}{4^6 \cdot 4^4} = 210 \cdot \frac{729}{4^{10}} = \frac{153090}{1048576}$

$P_{10}(7) = C_{10}^7 \cdot (0,75)^7 \cdot (0,25)^3 = \frac{10!}{7!3!} \cdot (\frac{3}{4})^7 \cdot (\frac{1}{4})^3 = 120 \cdot \frac{3^7}{4^7 \cdot 4^3} = 120 \cdot \frac{2187}{4^{10}} = \frac{262440}{1048576}$

Теперь сложим все вероятности:

$P(k \ge 6) = P_{10}(6) + P_{10}(7) + P(k \ge 8) = \frac{153090}{1048576} + \frac{262440}{1048576} + \frac{551124}{1048576} = \frac{153090 + 262440 + 551124}{1048576} = \frac{966654}{1048576} \approx 0,9219$

Ответ: $\approx 0,9219$