Номер 241, страница 78, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

241 В некотором испытании Бернулли неудача наступает с вероятностью $q = \frac{1}{3}$.

Найдите вероятность того, что в серии из 5 таких испытаний:

а) наступит ровно 2 успеха;

б) наступит ровно 1 успех;

в)* наступит более 2 успехов;

г)* наступит менее 4 успехов.

Данная задача описывает серию из $n=5$ независимых испытаний Бернулли. Вероятность неудачи в одном испытании равна $q = \frac{1}{3}$.

Вероятность успеха $p$ в одном испытании можно найти как $p = 1 - q = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.

Вероятность того, что в $n$ испытаниях произойдет ровно $k$ успехов, вычисляется по формуле Бернулли:$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний.

В нашем случае формула принимает вид:$P_5(k) = C_5^k \cdot (\frac{2}{3})^k \cdot (\frac{1}{3})^{5-k}$.

а) наступит ровно 2 успеха

Нам нужно найти вероятность для $k=2$. Подставляем значения в формулу Бернулли:

$P_5(2) = C_5^2 \cdot (\frac{2}{3})^2 \cdot (\frac{1}{3})^{5-2}$

Вычислим число сочетаний: $C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{4 \cdot 5}{2} = 10$.

Теперь вычислим вероятность:$P_5(2) = 10 \cdot (\frac{2}{3})^2 \cdot (\frac{1}{3})^3 = 10 \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{27} = \frac{40}{243}$.

Ответ: $\frac{40}{243}$

б) наступит ровно 1 успех

Нам нужно найти вероятность для $k=1$. Подставляем значения в формулу:

$P_5(1) = C_5^1 \cdot (\frac{2}{3})^1 \cdot (\frac{1}{3})^{5-1}$

Вычислим число сочетаний: $C_5^1 = \frac{5!}{1!(5-1)!} = \frac{5!}{1!4!} = 5$.

Теперь вычислим вероятность:$P_5(1) = 5 \cdot \frac{2}{3} \cdot (\frac{1}{3})^4 = 5 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{81} = \frac{10}{243}$.

Ответ: $\frac{10}{243}$

в)* наступит более 2 успехов

Событие "наступит более 2 успехов" означает, что число успехов $k$ может быть 3, 4 или 5. Вероятность этого события равна сумме вероятностей каждого из этих исходов:

$P(k>2) = P_5(3) + P_5(4) + P_5(5)$

Вычислим каждую вероятность по отдельности:

$P_5(3) = C_5^3 \cdot (\frac{2}{3})^3 \cdot (\frac{1}{3})^2 = 10 \cdot \frac{8}{27} \cdot \frac{1}{9} = \frac{80}{243}$

$P_5(4) = C_5^4 \cdot (\frac{2}{3})^4 \cdot (\frac{1}{3})^1 = 5 \cdot \frac{16}{81} \cdot \frac{1}{3} = \frac{80}{243}$

$P_5(5) = C_5^5 \cdot (\frac{2}{3})^5 \cdot (\frac{1}{3})^0 = 1 \cdot \frac{32}{243} \cdot 1 = \frac{32}{243}$

Сложим полученные вероятности:$P(k>2) = \frac{80}{243} + \frac{80}{243} + \frac{32}{243} = \frac{192}{243}$.

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:$\frac{192}{243} = \frac{64}{81}$.

Ответ: $\frac{64}{81}$

г)* наступит менее 4 успехов

Событие "наступит менее 4 успехов" ($k<4$) является противоположным событию "наступит 4 или 5 успехов" ($k \ge 4$). Проще найти вероятность противоположного события и вычесть ее из 1.

$P(k<4) = 1 - P(k \ge 4) = 1 - (P_5(4) + P_5(5))$

Вероятности $P_5(4)$ и $P_5(5)$ мы уже вычислили в предыдущем пункте:

$P_5(4) = \frac{80}{243}$

$P_5(5) = \frac{32}{243}$

Найдем их сумму:$P(k \ge 4) = \frac{80}{243} + \frac{32}{243} = \frac{112}{243}$.

Теперь найдем искомую вероятность:$P(k<4) = 1 - \frac{112}{243} = \frac{243 - 112}{243} = \frac{131}{243}$.

Ответ: $\frac{131}{243}$