Номер 239, страница 78, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

239 Случайный эксперимент заключается в пятикратном бросании симметричной монеты. Найдите вероятность события:

а) «решка выпадет ровно 3 раза»;

б) «орёл выпадет от двух до четырёх раз»;

в) «решка выпадет либо 1 раз, либо 3 раза»;

г) «орёл выпадет нечётное число раз».

Случайный эксперимент состоит в пятикратном бросании симметричной монеты. Это серия из $n=5$ независимых испытаний, в каждом из которых есть два равновероятных исхода: орёл (О) или решка (Р). Вероятность выпадения орла $p=0.5$ и решки $q=0.5$.

Общее число всех возможных и равновероятных исходов эксперимента равно $N = 2^n = 2^5 = 32$.

Вероятность любого события $A$ вычисляется по формуле $P(A) = \frac{m}{N}$, где $m$ — число благоприятствующих этому событию исходов. Число исходов, при которых некоторое событие (например, выпадение решки) происходит ровно $k$ раз в $n$ испытаниях, находится по формуле числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

В данном случае $n=5$ (всего бросков) и $k=3$ (количество выпадений решки).Число благоприятствующих исходов — это количество способов, которыми могут выпасть 3 решки в 5 бросках:$m = C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{4 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 10$.

Вероятность этого события равна:$P = \frac{m}{N} = \frac{10}{32} = \frac{5}{16}$.

Ответ: $\frac{5}{16}$

Это событие объединяет три несовместных исхода: орёл выпадет 2 раза, 3 раза или 4 раза.Найдём число благоприятствующих исходов для каждого случая:

Число исходов для 2 орлов ($k=2$): $m_2 = C_5^2 = \frac{5!}{2!3!} = 10$.
Число исходов для 3 орлов ($k=3$): $m_3 = C_5^3 = \frac{5!}{3!2!} = 10$.
Число исходов для 4 орлов ($k=4$): $m_4 = C_5^4 = \frac{5!}{4!1!} = 5$.

Суммарное число благоприятствующих исходов: $m = m_2 + m_3 + m_4 = 10 + 10 + 5 = 25$.Вероятность этого события равна:$P = \frac{m}{N} = \frac{25}{32}$.

Ответ: $\frac{25}{32}$

Это событие объединяет два несовместных исхода: решка выпадет 1 раз или 3 раза.

Число исходов для 1 решки ($k=1$): $m_1 = C_5^1 = \frac{5!}{1!4!} = 5$.
Число исходов для 3 решек ($k=3$): $m_3 = C_5^3 = \frac{5!}{3!2!} = 10$.

Суммарное число благоприятствующих исходов: $m = m_1 + m_3 = 5 + 10 = 15$.Вероятность этого события равна:$P = \frac{m}{N} = \frac{15}{32}$.

Ответ: $\frac{15}{32}$

Это событие объединяет несовместные исходы, когда орёл выпадает нечётное число раз: 1, 3 или 5 раз.

Число исходов для 1 орла ($k=1$): $m_1 = C_5^1 = \frac{5!}{1!4!} = 5$.
Число исходов для 3 орлов ($k=3$): $m_3 = C_5^3 = \frac{5!}{3!2!} = 10$.
Число исходов для 5 орлов ($k=5$): $m_5 = C_5^5 = \frac{5!}{5!0!} = 1$.

Суммарное число благоприятствующих исходов: $m = m_1 + m_3 + m_5 = 5 + 10 + 1 = 16$.Вероятность этого события равна:$P = \frac{m}{N} = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$