Номер 236, страница 78, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

236 Найдите вероятность появления ровно трёх орлов, если монету бросают:

а) 3 раза;

б) 7 раз;

в) 9 раз;

г) n раз.

Для решения данной задачи используется формула Бернулли, которая определяет вероятность получения ровно $k$ успехов в $n$ независимых испытаниях.

$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$

В контексте нашей задачи:

• $n$ — это общее количество бросков монеты.
• $k$ — это количество выпадений орла, которое по условию равно 3 ($k=3$).
• $p$ — вероятность выпадения орла при одном броске. Для симметричной монеты $p = 1/2$.
• $1-p$ — вероятность выпадения решки, которая также равна $1/2$.
• $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальный коэффициент, показывающий число способов выбрать $k$ элементов из $n$ без учёта порядка.

Поскольку $p = 1-p = 1/2$, формула для нашего случая ($k=3$) упрощается:

$P_n(3) = C_n^3 \cdot (1/2)^3 \cdot (1/2)^{n-3} = C_n^3 \cdot (1/2)^{n} = \frac{C_n^3}{2^n}$

Теперь решим каждый подпункт, используя эту формулу.

а) 3 раза

В этом случае общее число бросков $n = 3$, и нам нужно найти вероятность выпадения ровно $k=3$ орлов.

Общее количество всех возможных исходов при 3 бросках равно $2^3 = 8$.

Количество благоприятных исходов (выпадение трёх орлов подряд) равно $C_3^3$.

$C_3^3 = \frac{3!}{3!(3-3)!} = \frac{3!}{3!0!} = 1$ (по определению $0!=1$).

Таким образом, существует только один способ получить три орла из трёх бросков.

Вероятность этого события равна:

$P_3(3) = \frac{C_3^3}{2^3} = \frac{1}{8}$

Ответ: $\frac{1}{8}$

б) 7 раз

Здесь общее число бросков $n = 7$, а необходимое число орлов $k=3$.

Общее количество исходов равно $2^7 = 128$.

Количество способов, которыми могут выпасть ровно 3 орла в серии из 7 бросков, равно $C_7^3$.

$C_7^3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 7 \cdot 5 = 35$.

Вероятность события равна:

$P_7(3) = \frac{C_7^3}{2^7} = \frac{35}{128}$

Ответ: $\frac{35}{128}$

в) 9 раз

При $n=9$ бросках и $k=3$ орлах, общее число исходов равно $2^9 = 512$.

Найдём количество благоприятных исходов $C_9^3$.

$C_9^3 = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 3 \cdot 4 \cdot 7 = 84$.

Вероятность равна:

$P_9(3) = \frac{C_9^3}{2^9} = \frac{84}{512}$

Эту дробь можно сократить, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 4.

$\frac{84 \div 4}{512 \div 4} = \frac{21}{128}$

Ответ: $\frac{21}{128}$

г) n раз

В общем случае, когда монету бросают $n$ раз, вероятность выпадения ровно трёх орлов вычисляется по той же формуле $P_n(3) = \frac{C_n^3}{2^n}$.

Выразим биномиальный коэффициент $C_n^3$ в общем виде:

$C_n^3 = \frac{n!}{3!(n-3)!} = \frac{n(n-1)(n-2)}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$

Данное выражение справедливо при $n \ge 3$. Если $n < 3$ (т.е. $n=0, 1, 2$), то получить 3 орла невозможно, и вероятность равна 0. Формула $\frac{n(n-1)(n-2)}{6}$ также даёт 0 для этих значений $n$, поэтому она является универсальной.

Подставим это выражение в формулу вероятности:

$P_n(3) = \frac{n(n-1)(n-2)/6}{2^n} = \frac{n(n-1)(n-2)}{6 \cdot 2^n}$

Ответ: $\frac{n(n-1)(n-2)}{6 \cdot 2^n}$