Номер 242, страница 78, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

242 В некотором испытании Бернулли успех наступает с вероятностью $p = 0,4$.

Найдите вероятность того, что в серии из 4 таких испытаний:

а) наступит более 2 успехов;

б) наступит не более 2 неудач;

в) не все испытания окончатся неудачей;

г) наступит менее 4 успехов.

В данной задаче рассматривается схема испытаний Бернулли. Общее число независимых испытаний $n = 4$. Вероятность «успеха» в одном испытании $p = 0.4$. Следовательно, вероятность «неудачи» в одном испытании $q = 1 - p = 1 - 0.4 = 0.6$. Вероятность того, что в $n$ испытаниях событие наступит ровно $k$ раз, вычисляется по формуле Бернулли: $P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний из $n$ по $k$.

а) наступит более 2 успехов
Это событие означает, что в серии из 4 испытаний произойдет либо 3 успеха, либо 4 успеха. Вероятность этого события равна сумме вероятностей $P_4(3)$ и $P_4(4)$.
Найдем вероятность 3 успехов: $P_4(3) = C_4^3 \cdot p^3 \cdot q^{4-3} = \frac{4!}{3!1!} \cdot (0.4)^3 \cdot (0.6)^1 = 4 \cdot 0.064 \cdot 0.6 = 0.1536$.
Найдем вероятность 4 успехов: $P_4(4) = C_4^4 \cdot p^4 \cdot q^{4-4} = \frac{4!}{4!0!} \cdot (0.4)^4 \cdot (0.6)^0 = 1 \cdot 0.0256 \cdot 1 = 0.0256$.
Суммарная вероятность: $P(k > 2) = P_4(3) + P_4(4) = 0.1536 + 0.0256 = 0.1792$.
Ответ: 0.1792

б) наступит не более 2 неудач
Это событие означает, что число неудач может быть 0, 1 или 2. Это эквивалентно тому, что число успехов будет 4, 3 или 2 (поскольку $k_{успехов} = n - m_{неудач} = 4 - m_{неудач}$). Таким образом, нам нужно найти вероятность того, что наступит 2, 3 или 4 успеха: $P(k \ge 2) = P_4(2) + P_4(3) + P_4(4)$.
Вероятности для 3 и 4 успехов мы уже нашли в пункте а): $P_4(3) = 0.1536$ и $P_4(4) = 0.0256$.
Найдем вероятность 2 успехов: $P_4(2) = C_4^2 \cdot p^2 \cdot q^{4-2} = \frac{4!}{2!2!} \cdot (0.4)^2 \cdot (0.6)^2 = 6 \cdot 0.16 \cdot 0.36 = 0.3456$.
Суммарная вероятность: $P(k \ge 2) = P_4(2) + P_4(3) + P_4(4) = 0.3456 + 0.1536 + 0.0256 = 0.5248$.
Ответ: 0.5248

в) не все испытания окончатся неудачей
Это событие является противоположным (дополнительным) к событию «все испытания окончатся неудачей». Событие «все 4 испытания окончатся неудачей» означает, что наступит 0 успехов.
Найдем вероятность 0 успехов: $P_4(0) = C_4^0 \cdot p^0 \cdot q^{4-0} = \frac{4!}{0!4!} \cdot (0.4)^0 \cdot (0.6)^4 = 1 \cdot 1 \cdot 0.1296 = 0.1296$.
Вероятность искомого события равна разности между 1 и вероятностью противоположного события: $P = 1 - P_4(0) = 1 - 0.1296 = 0.8704$.
Ответ: 0.8704

г) наступит менее 4 успехов
Это событие означает, что число успехов может быть 0, 1, 2 или 3. Оно является противоположным к событию «наступит ровно 4 успеха».
Вероятность наступления 4 успехов мы нашли в пункте а): $P_4(4) = 0.0256$.
Тогда искомая вероятность равна разности между 1 и вероятностью противоположного события: $P(k < 4) = 1 - P_4(4) = 1 - 0.0256 = 0.9744$.
Ответ: 0.9744