Номер 244, страница 78, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

244 Олег задали 10 одинаковых по трудности задач. Вероятность того, что Олег решит каждую отдельную задачу, равна 0,75. Найдите вероятность того, что Олег решит:

а) все задачи;

б) не менее 8 задач;

в) не менее 6 задач.

Данная задача описывается схемой Бернулли, поскольку представляет собой серию независимых испытаний (решение каждой задачи) с двумя возможными исходами (задача решена или не решена), причем вероятность успеха (решения задачи) в каждом испытании постоянна.

Обозначим:

$n$ - общее количество испытаний (задач), $n=10$.
$p$ - вероятность успеха в одном испытании (решить задачу), $p = 0,75 = \frac{3}{4}$.
$q$ - вероятность неудачи в одном испытании (не решить задачу), $q = 1 - p = 1 - 0,75 = 0,25 = \frac{1}{4}$.
$k$ - количество успехов (решенных задач).

Вероятность того, что Олег решит ровно $k$ задач из $n$, вычисляется по формуле Бернулли:

$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ - число сочетаний.

а) все задачи

Это событие означает, что Олег решит ровно 10 задач, то есть $k=10$. Найдем вероятность этого события.

$P_{10}(10) = C_{10}^{10} \cdot p^{10} \cdot q^{10-10} = 1 \cdot (0,75)^{10} \cdot (0,25)^0 = (0,75)^{10}$

Вычислим значение:

$P_{10}(10) = (\frac{3}{4})^{10} = \frac{3^{10}}{4^{10}} = \frac{59049}{1048576} \approx 0,0563$

Ответ: $\approx 0,0563$

б) не менее 8 задач

Это событие означает, что Олег решит 8, 9 или 10 задач. Вероятность этого события равна сумме вероятностей каждого из этих исходов:

$P(k \ge 8) = P_{10}(8) + P_{10}(9) + P_{10}(10)$

Вероятность $P_{10}(10)$ уже найдена в пункте а). Вычислим остальные слагаемые:

$P_{10}(8) = C_{10}^8 \cdot (0,75)^8 \cdot (0,25)^2 = \frac{10!}{8!2!} \cdot (\frac{3}{4})^8 \cdot (\frac{1}{4})^2 = 45 \cdot \frac{3^8}{4^8 \cdot 4^2} = 45 \cdot \frac{6561}{4^{10}} = \frac{295245}{1048576}$

$P_{10}(9) = C_{10}^9 \cdot (0,75)^9 \cdot (0,25)^1 = \frac{10!}{9!1!} \cdot (\frac{3}{4})^9 \cdot (\frac{1}{4})^1 = 10 \cdot \frac{3^9}{4^9 \cdot 4^1} = 10 \cdot \frac{19683}{4^{10}} = \frac{196830}{1048576}$

Теперь сложим вероятности:

$P(k \ge 8) = \frac{295245}{1048576} + \frac{196830}{1048576} + \frac{59049}{1048576} = \frac{295245 + 196830 + 59049}{1048576} = \frac{551124}{1048576} \approx 0,5256$

Ответ: $\approx 0,5256$

в) не менее 6 задач

Это событие означает, что Олег решит 6, 7, 8, 9 или 10 задач. Вероятность этого события равна сумме вероятностей:

$P(k \ge 6) = P_{10}(6) + P_{10}(7) + P_{10}(8) + P_{10}(9) + P_{10}(10) = P_{10}(6) + P_{10}(7) + P(k \ge 8)$

Вероятность $P(k \ge 8)$ мы нашли в пункте б). Вычислим недостающие слагаемые:

$P_{10}(6) = C_{10}^6 \cdot (0,75)^6 \cdot (0,25)^4 = \frac{10!}{6!4!} \cdot (\frac{3}{4})^6 \cdot (\frac{1}{4})^4 = 210 \cdot \frac{3^6}{4^6 \cdot 4^4} = 210 \cdot \frac{729}{4^{10}} = \frac{153090}{1048576}$

$P_{10}(7) = C_{10}^7 \cdot (0,75)^7 \cdot (0,25)^3 = \frac{10!}{7!3!} \cdot (\frac{3}{4})^7 \cdot (\frac{1}{4})^3 = 120 \cdot \frac{3^7}{4^7 \cdot 4^3} = 120 \cdot \frac{2187}{4^{10}} = \frac{262440}{1048576}$

Теперь сложим все вероятности:

$P(k \ge 6) = P_{10}(6) + P_{10}(7) + P(k \ge 8) = \frac{153090}{1048576} + \frac{262440}{1048576} + \frac{551124}{1048576} = \frac{153090 + 262440 + 551124}{1048576} = \frac{966654}{1048576} \approx 0,9219$

Ответ: $\approx 0,9219$