Номер 243, страница 78, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

243 Перед началом шахматной партии с помощью жребия игроки определяют, кто играет белыми, а кто — чёрными. Остап Бендер проводит сеанс одновременной игры с любителями шахмат города Васюки на 12 досках. Найдите вероятность того, что он будет играть белыми:

а) ровно на 3 досках;

б) ровно на 5 досках;

в) хотя бы на 1 доске;

г) по крайней мере на 2 досках.

Данная задача описывает серию из $n=12$ независимых испытаний (шахматных партий). В каждом испытании есть два равновероятных исхода: "успех" (Остап Бендер играет белыми) и "неудача" (Остап Бендер играет чёрными). Поскольку выбор цвета определяется жребием, вероятность успеха $p=0.5$ и вероятность неудачи $q=1-p=0.5$.

Для нахождения вероятности того, что событие "успех" произойдет ровно $k$ раз в $n$ испытаниях, используется формула Бернулли:$P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$

В нашем случае, при $n=12$ и $p=q=0.5$, формула принимает вид:$P_{12}(k) = C_{12}^k (0.5)^k (0.5)^{12-k} = C_{12}^k (0.5)^{12} = \frac{C_{12}^k}{2^{12}} = \frac{C_{12}^k}{4096}$

а) ровно на 3 досках

Найдём вероятность того, что Остап будет играть белыми ровно на $k=3$ досках. Для этого вычислим число сочетаний $C_{12}^3$:$C_{12}^3 = \frac{12!}{3!(12-3)!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 2 \cdot 11 \cdot 10 = 220$.

Теперь подставим это значение в формулу вероятности:$P_{12}(3) = \frac{C_{12}^3}{4096} = \frac{220}{4096}$.

Сократив дробь, получаем $\frac{55}{1024}$.

Ответ: $\frac{55}{1024}$

б) ровно на 5 досках

Найдём вероятность того, что Остап будет играть белыми ровно на $k=5$ досках. Вычислим число сочетаний $C_{12}^5$:$C_{12}^5 = \frac{12!}{5!(12-5)!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$.

Сократим множители: $10$ в числителе с $5 \cdot 2$ в знаменателе, и $12$ в числителе с $4 \cdot 3$ в знаменателе. Получим: $C_{12}^5 = 11 \cdot 9 \cdot 8 = 792$.

Вероятность $P_{12}(5)$ равна:$P_{12}(5) = \frac{C_{12}^5}{4096} = \frac{792}{4096}$.

Сократив дробь на 8, получаем $\frac{99}{512}$.

Ответ: $\frac{99}{512}$

в) хотя бы на 1 доске

Событие "хотя бы на 1 доске" ($k \ge 1$) является противоположным событию "ни на одной доске" ($k=0$). Вероятность этого события проще найти через вероятность противоположного события: $P(k \ge 1) = 1 - P(k=0)$.

Сначала вычислим вероятность $P_{12}(0)$. Число сочетаний $C_{12}^0 = 1$.$P_{12}(0) = \frac{C_{12}^0}{4096} = \frac{1}{4096}$.

Теперь найдём искомую вероятность:$P(k \ge 1) = 1 - \frac{1}{4096} = \frac{4096 - 1}{4096} = \frac{4095}{4096}$.

Ответ: $\frac{4095}{4096}$

г) по крайней мере на 2 досках

Событие "по крайней мере на 2 досках" ($k \ge 2$) является противоположным событию "менее чем на 2 досках", то есть "на 0 досках или на 1 доске" ($k=0$ или $k=1$). Вероятность можно найти как: $P(k \ge 2) = 1 - P(k < 2) = 1 - (P(k=0) + P(k=1))$.

Вероятность $P_{12}(0)$ мы уже нашли: $P_{12}(0) = \frac{1}{4096}$.Теперь вычислим вероятность $P_{12}(1)$. Число сочетаний $C_{12}^1 = 12$.$P_{12}(1) = \frac{C_{12}^1}{4096} = \frac{12}{4096}$.

Сумма вероятностей для $k=0$ и $k=1$:$P(k < 2) = P_{12}(0) + P_{12}(1) = \frac{1}{4096} + \frac{12}{4096} = \frac{13}{4096}$.

Наконец, вычисляем искомую вероятность:$P(k \ge 2) = 1 - P(k < 2) = 1 - \frac{13}{4096} = \frac{4096 - 13}{4096} = \frac{4083}{4096}$.

Ответ: $\frac{4083}{4096}$