Номер 237, страница 78, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

237 Игральную кость бросают 6 раз. Найдите вероятность того, что шестёрка выпадет:

а) 3 раза;

б) 5 раз;

в) 1 раз;

г) 6 раз;

д) 2 раза;

е) ни разу.

Данная задача решается с помощью формулы Бернулли для последовательности независимых испытаний. Вероятность того, что в $n$ независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность наступления события $A$ равна $p$, это событие наступит ровно $k$ раз, вычисляется по формуле:

$P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$

где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальный коэффициент (число сочетаний из $n$ по $k$), а $q = 1-p$ — вероятность ненаступления события $A$.

В данном случае:

- число испытаний $n = 6$ (кость бросают 6 раз);

- событие "успеха" — выпадение шестёрки;

- вероятность успеха в одном испытании $p = \frac{1}{6}$;

- вероятность "неудачи" (невыпадения шестёрки) в одном испытании $q = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.

а) 3 раза

Ищем вероятность того, что шестёрка выпадет ровно $k=3$ раза.$P_6(3) = C_6^3 \cdot (\frac{1}{6})^3 \cdot (\frac{5}{6})^{6-3} = C_6^3 \cdot (\frac{1}{6})^3 \cdot (\frac{5}{6})^3$.

Число сочетаний $C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20$.

Тогда вероятность равна $P_6(3) = 20 \cdot \frac{1^3 \cdot 5^3}{6^6} = 20 \cdot \frac{125}{46656} = \frac{2500}{46656}$.

Сократив дробь на 4, получаем $\frac{625}{11664}$.
Ответ: $\frac{625}{11664}$.

б) 5 раз

Ищем вероятность того, что шестёрка выпадет ровно $k=5$ раз.$P_6(5) = C_6^5 \cdot (\frac{1}{6})^5 \cdot (\frac{5}{6})^{6-5} = C_6^5 \cdot (\frac{1}{6})^5 \cdot \frac{5}{6}$.

Число сочетаний $C_6^5 = \frac{6!}{5!(6-5)!} = 6$.

Вероятность равна $P_6(5) = 6 \cdot \frac{1^5 \cdot 5^1}{6^6} = \frac{30}{46656}$.

Сократив дробь на 6, получаем $\frac{5}{7776}$.
Ответ: $\frac{5}{7776}$.

в) 1 раз

Ищем вероятность того, что шестёрка выпадет ровно $k=1$ раз.$P_6(1) = C_6^1 \cdot (\frac{1}{6})^1 \cdot (\frac{5}{6})^{6-1} = C_6^1 \cdot \frac{1}{6} \cdot (\frac{5}{6})^5$.

Число сочетаний $C_6^1 = \frac{6!}{1!(6-1)!} = 6$.

Вероятность равна $P_6(1) = 6 \cdot \frac{1}{6} \cdot (\frac{5}{6})^5 = (\frac{5}{6})^5 = \frac{3125}{7776}$.
Ответ: $\frac{3125}{7776}$.

г) 6 раз

Ищем вероятность того, что шестёрка выпадет ровно $k=6$ раз.$P_6(6) = C_6^6 \cdot (\frac{1}{6})^6 \cdot (\frac{5}{6})^{6-6} = 1 \cdot (\frac{1}{6})^6 \cdot 1$.

Вероятность равна $P_6(6) = \frac{1^6}{6^6} = \frac{1}{46656}$.
Ответ: $\frac{1}{46656}$.

д) 2 раза

Ищем вероятность того, что шестёрка выпадет ровно $k=2$ раза.$P_6(2) = C_6^2 \cdot (\frac{1}{6})^2 \cdot (\frac{5}{6})^{6-2} = C_6^2 \cdot (\frac{1}{6})^2 \cdot (\frac{5}{6})^4$.

Число сочетаний $C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15$.

Вероятность равна $P_6(2) = 15 \cdot \frac{1^2 \cdot 5^4}{6^6} = 15 \cdot \frac{625}{46656} = \frac{9375}{46656}$.

Сократив дробь на 3, получаем $\frac{3125}{15552}$.
Ответ: $\frac{3125}{15552}$.

е) ни разу

Ищем вероятность того, что шестёрка не выпадет ни разу ($k=0$).$P_6(0) = C_6^0 \cdot (\frac{1}{6})^0 \cdot (\frac{5}{6})^{6-0} = 1 \cdot 1 \cdot (\frac{5}{6})^6$.

Вероятность равна $P_6(0) = (\frac{5}{6})^6 = \frac{5^6}{6^6} = \frac{15625}{46656}$.
Ответ: $\frac{15625}{46656}$.