Номер 3, страница 77, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

3 Как найти вероятность события «хотя бы один успех» в серии испытаний Бернулли?

Вероятность события «хотя бы один успех» в серии из $n$ независимых испытаний Бернулли удобнее всего находить через вероятность противоположного (дополнительного) события.

1. Определение событий и переменных

Пусть $A$ — это событие, при котором в серии из $n$ испытаний произойдет хотя бы один успех. Тогда противоположное ему событие $\overline{A}$ — это событие, при котором не произойдет ни одного успеха (то есть все $n$ испытаний закончатся неудачей).

Введем обозначения:

• $n$ — общее число независимых испытаний.
• $p$ — вероятность «успеха» в одном испытании.
• $q$ — вероятность «неудачи» в одном испытании, где $q = 1 - p$.

2. Расчет вероятности противоположного события $P(\overline{A})$

Вероятность неудачи в одном испытании равна $q$. Поскольку все $n$ испытаний независимы, вероятность того, что все они закончатся неудачей, равна произведению их вероятностей:

$P(\overline{A}) = \underbrace{q \cdot q \cdot \dots \cdot q}_{n \text{ раз}} = q^n$

Используя связь между $p$ и $q$, получаем: $P(\overline{A}) = (1 - p)^n$.

3. Расчет искомой вероятности $P(A)$

Сумма вероятностей противоположных событий всегда равна единице: $P(A) + P(\overline{A}) = 1$.

Отсюда можно выразить искомую вероятность события $A$:

$P(A) = 1 - P(\overline{A})$

Подставив найденное ранее значение для $P(\overline{A})$, получаем итоговую формулу:

$P(A) = 1 - q^n = 1 - (1-p)^n$

Ответ: Вероятность события «хотя бы один успех» в серии из $n$ испытаний Бернулли, где вероятность успеха в каждом испытании равна $p$, вычисляется по формуле: $P = 1 - (1-p)^n$.