Номер 232, страница 76, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

232 Докажите, что в серии из 15 испытаний Бернулли число элементарных событий, благоприятствующих 6 успехам, равно числу элементарных событий, благоприятствующих:

а) 9 неудачам;

б) 9 успехам;

в) 6 неудачам.

В серии из $n=15$ испытаний Бернулли, число элементарных событий (комбинаций), благоприятствующих $k$ успехам, определяется по формуле числа сочетаний:$C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Число элементарных событий, благоприятствующих 6 успехам в 15 испытаниях, равно:$C_{15}^6 = \binom{15}{6} = \frac{15!}{6!(15-6)!} = \frac{15!}{6!9!}$.

Докажем, что это число равно числу элементарных событий в каждом из предложенных случаев.

а) 9 неудачам;

В серии из 15 испытаний событие "9 неудач" означает, что количество успехов составляет $15 - 9 = 6$. Таким образом, это то же самое событие, что и "6 успехов". Число элементарных событий, благоприятствующих 9 неудачам, равно числу событий, благоприятствующих 6 успехам:$C_{15}^{15-9} = C_{15}^6 = \frac{15!}{6!9!}$.Следовательно, число событий, благоприятствующих 6 успехам, равно числу событий, благоприятствующих 9 неудачам.

Ответ: Доказано.

б) 9 успехам;

Число элементарных событий, благоприятствующих 9 успехам в 15 испытаниях, равно:$C_{15}^9 = \binom{15}{9} = \frac{15!}{9!(15-9)!} = \frac{15!}{9!6!}$.

Сравним это значение с числом событий для 6 успехов, которое равно $C_{15}^6 = \frac{15!}{6!9!}$.Очевидно, что $C_{15}^6 = C_{15}^9$. Это равенство следует из основного свойства биномиальных коэффициентов: $C_n^k = C_n^{n-k}$. Для нашего случая:$C_{15}^6 = C_{15}^{15-6} = C_{15}^9$.Следовательно, число событий, благоприятствующих 6 успехам, равно числу событий, благоприятствующих 9 успехам.

Ответ: Доказано.

в) 6 неудачам.

В серии из 15 испытаний событие "6 неудач" означает, что количество успехов составляет $15 - 6 = 9$. Число элементарных событий, благоприятствующих 6 неудачам, равно числу событий, благоприятствующих 9 успехам:$C_{15}^{15-6} = C_{15}^9 = \frac{15!}{9!(15-9)!} = \frac{15!}{9!6!}$.

Как было показано в пункте б), $C_{15}^9 = C_{15}^6$. Таким образом, число событий, благоприятствующих 6 успехам, равно числу событий, благоприятствующих 6 неудачам.

Ответ: Доказано.